EKF Диагностика — EKF Diagnostics
EKF Diagnostics ( E ntwicklung, K onstruktion und F ertigung) — зарегистрированная на бирже компания в области здравоохранения, основанная в 1990 году в Барлебене , Германия, в настоящее время со штаб-квартирой в Кардиффе , Уэльс , Великобритания .
EKF Диагностика специализируется на разработке, производстве и распределении точки ухода анализаторов для гемоглобина , HbA1c , глюкоза , лактат , а также целый ряд клинических химических продуктов и биомаркеров -На ELISA & экспресс — тесты , результат приобретения EKF диагностики в Stanbio и Argutus Medical . EKF Diagnostics имеет девять офисов в шести странах и насчитывает 295 человек по состоянию на 31 декабря 2011 года.
История
Компания EKF Diagnostics начала свою деятельность как EKF-Diagnostic GmbH, когда она была основана в 1990 году Бертольдом Вальтером в Барлебене недалеко от Магдебурга , Германия . Изначально инженерный бизнес, компания медленно перешла в 1990-е годы в компанию по медицинской диагностике, когда они начали разрабатывать анализаторы для банков крови , диабета и рынков спортивной медицины, а также приобретать другие компании в этой области.
2010 год стал годом серьезных перемен для компании. EKF-Diagnostic GmbH была приобретена компанией International Brand Licensing, зарегистрированной на британской фондовой бирже AIM, которая вскоре была переименована в EKF Diagnostics Holdings plc. Затем EKF Diagnostics начала приобретать компании в области диагностики. Компания Quotient Diagnostics, расположенная в Уолтон-на-Темзе в графстве Суррей, была первой компанией, которая была приобретена EKF Diagnostics в октябре 2010 года за 3,41 миллиона фунтов стерлингов. Это приобретение добавило ряд диагностических устройств, помогающих лечить и контролировать диабет и связанные с ним хронические заболевания, в портфолио EKF Diagnostics.
В 2011 году EKF Diagnostics приобрела Stanbio Laboratory LP, предприятие по распространению и производству медицинских устройств, базирующееся в Берне , штат Техас, за 25,5 млн долларов США. Stanbio Life Sciences, компания по производству ферментов, также была частью этого приобретения.
Глобальные операции
У EKF Diagnostics девять предприятий, расположенных в Германии , Великобритании , Ирландии , Польше , России и США, и на 31 декабря 2011 года на них работает 295 человек. Семь из этих центров участвуют в производстве продукции группы, а четыре из этих центров также участвуют в различные исследования и разработки . EKF Диагностика со штаб — квартирой в Кардиффе , Уэльс , а сайт Stanbio в Boerne , штат Техас является административным центром продаж в США
Дочерние компании
Аргутус Медикал
Компания Argutus Medical, базирующаяся в Дублине , Ирландия, начинала как подразделение биомаркеров Biotrin International. Подразделение биомаркеров затем было выделено в Argutus Medical до того, как Biotrin была приобретена итальянской диагностической компанией DiaSorin SpA в 2008 году. Argutus Medical стала частью EKF Diagnostics в 2010 году, когда она была приобретена за 2,2 миллиона фунтов стерлингов. Argutus Medical добавила в портфель продуктов EKF Diagnostics ряд тестов ELISA и быстрых тестов . Тест-наборы особенно используются в фармацевтических исследованиях . Argutus Medical в настоящее время участвует в ряде программ исследований и разработок биомаркеров для выявления острого повреждения почек ( нефротоксичность ) и острого повреждения печени ( гепатотоксичность ).
Факторная диагностика
Quotient Diagnostics была основана в 2002 году Дэвидом Чаттертоном как дочерняя компания Chelsea Technologies Group. Компания EKF Diagnostics, купленная в 2010 году за 3,41 миллиона фунтов стерлингов, базируется в Уолтон-на-Темзе , графство Суррей, и в настоящее время является научно-исследовательской и производственной базой для анализаторов гликированного гемоглобина ( HbA1c ) EKF Diagnostics , основанных на технологии подавления боронатной флуоресценции. HbA1c становится предпочтительным методом мониторинга диабета в медицинском сообществе. В 2011 году производственная площадь была увеличена до 900 квадратных метров, чтобы удовлетворить потребности клиентов.
Лаборатория Станбио
Лаборатория Stanbio находится в Берне , штат Техас, с момента ее основания в 1960 году. Stanbio была приобретена EKF Diagnostics в 2011 году за 25,5 миллионов долларов США и добавляет ряд медицинских тестов и диагностических устройств, включая клиническую химию, беременность и кровь в медицинских учреждениях. тесты на гемоглобин в портфеле продуктов EKF Diagnostics. Сайт Boerne также выступает в качестве административного центра EKF Diagnostics в США. Stanbio также имеет второй сайт в Элкхарте, штат Индиана, который представляет собой промышленный завод по производству ферментов для внутреннего использования и для внешних клиентов.
Рекомендации
Тириль Экхофф — биография, новости, фото, личная жизнь, в купальнике, биатлон, биатлонистка, парень 2021
Биография
За Тириль Экхофф тянется шлейф признаний одной из самых красивых, позитивных и лучезарных биатлонисток. На странице в «Инстаграме» сложно найти фото, где девушка не улыбается.
Детство и юность
В Норвегии замысловатое административное деление: родиной Тириль Кампенхэуг Экхофф является образование третьего уровня — коммуна Берум, входящая в округ Акерсхус. Спортсменка родилась под знаком зодиака Телец в мае 1990-го — конечно же, в семье, по традиции увлекающейся зимними видами спорта.
Биатлонная биография старшего брата Стиана насчитывает 10 лет, в молодости он завоевал титулы чемпиона мира в эстафете и чемпиона мира среди военнослужащих. Сейчас входит в тренерский штаб сборной команды Норвегии. Занималась биатлоном и сестра Кайя. К слову, в близких друзьях у нее был Эмиль Хегле Свендсен, тоже обладатель солидного списка достижений.
В ряды стреляющих лыжников, по примеру брата и сестры, вступила и Тириль. Она предпочла биатлон, поскольку обычные лыжные гонки считает скучным видом спорта из-за интервального старта, с самого начала и вплоть до финиша.
Тириль получила высшее образование. Она окончила Норвежский университет науки и технологии по инженерной специальности. В 2008-м попала в национальную сборную.
Биатлон
Впервые Тириль попробовала свои силы в спорте высоких достижений на чемпионатах мира среди юниоров. В возрасте 21 года в Чехии числилась среди фаворитов, но особых успехов там не добилась.
Еще одной попыткой стал чемпионат Европы в Эстонии в 2010-м, в юниорском разряде. Опыт оказался удачным — 2 бронзовые и золотая медали. В том же году на первых Всемирных военных играх Экхофф победила в гонке патрулей на 15 км.
На Кубке мира норвежка дебютировала на последнем этапе, заняла 46-е место в гонке преследования, 50-е в спринте и не записала в актив ни одного очка. В зачет пошли результаты выступлений в следующем сезоне. Тогда Экхофф начала с 54-го места на итальянском этапе и оказалась 7-й к концу соревнований, в гонке с масс-старта на этапе в России.
Сезон 2012–2013 преподнес биатлонистке первую кубковую медаль — бронзовую в эстафете в Сочи.
Прочие этапы не порадовали, результаты походили на американские горки — от 6 до 65-го. Подсластили пилюлю золото в спринте и серебро в пасьюте на чемпионате Норвегии. Но этого оказалось недостаточно, чтобы попасть на чемпионат мира.
В следующем сезоне произошел прорыв: сразу 6 подиумов, одна золотая, 2 серебряные и 3 бронзовые медали. Причем по одному золоту, серебру и бронзе завоеваны Тириль на Олимпийских играх в Сочи.
После сочинских игр копилка Экхофф пополнилась двумя золотыми, одной серебряной и четырьмя бронзовыми медалями, еще 3 раза биатлонистка была близка к пьедесталу. Следующие 2 сезона Кубка мира подарили норвежке 5 золотых, 2 серебряные и 3 бронзовые награды.
Жаркой оказалась смешанная эстафета Гонки чемпионов 2016 года. Для участия в ней Экхофф выбрала себе в пару Антона Шипулина. Ее постоянная соперница Доротея Вирер предпочла бежать трассу с Мартеном Фуркадом, а Карин Оберхофер — с Уле-Эйнаром Бьорндаленом. В результате забега норвежка и россиянин заняли третье место.
Чемпионаты мира первое время оставались не настолько показательными в спортивной биографии стреляющей лыжницы. За первые 6 сезонов Тириль завоевала 2 бронзовые и столько же золотых медалей мировых первенств. Чемпионат 2017-го в австрийском Хохфильцене и вовсе оказался провальным: лучший результат — 8-е место в эстафете.
Фигура Тириль Экхофф в купальникеПо окончании соревнований спортсменка задумалась о завершении карьеры. Тириль рассказывала журналистам, что находилась как в тумане, и в голове сидела одна мысль: стоит ли приносить такие жертвы, жить, как заведенная, по графику, чтобы в итоге так плохо выступать? Только тренер и близкий друг убедили, что у Экхофф есть неизрасходованный потенциал.
Весной 2016-го Экхофф поставили диагноз — астма. Тириль употребляет препарат «Атровент», но утверждает, что прибегает к нему не на постоянной основе, поскольку болезнь выявлена в легкой форме. В свете скандала в норвежском спорте к концу года девушка заявила, что болезни у нее вовсе нет.
Главное преимущество Тириль — скорость, даже при наличии промахов (что случается у биатлонистки часто) она может наверстать отставание по дистанции, не снижая темпа до самого финиша. А вот стрельба у спортсменки — слабое место. Экхофф знает об этом недостатке, о чем периодически упоминает в интервью.
Тириль Экхофф и Антон ШипулинНа Кубке мира сезона 2017–2018 норвежка пощекотала нервы себе и поклонникам: выиграла спринт в Италии и смешанную эстафету в Швеции и «свалилась» в четвертый и пятый десяток в Германии и Франции. На этапе в Австрии участвовала только в спринте, где оказалась 78-й.
Сезон подготовки к Олимпиаде-2018 у Тириль начался удачно. На чемпионате Норвегии биатлонистка завоевала золото в гонке преследования и 2 серебра — в спринте и в гонке с масс-старта. Участвовала девушка и в лыжных гонках, которые по определению не любит. Возможно, поэтому на первенстве страны Экхофф осталась на четвертой позиции в командном спринте.
В разгар подготовки к Играм у Тириль обнаружилась проблема с глазами — мнимая близорукость. Через пару месяцев зрение спортсменки улучшилось. По всей видимости, проблема со здоровьем разрешилась, поскольку со страницы в «Инстаграме» исчезла фотография с соответствующим комментарием. По приезде в Корею, до которой жительница Скандинавии добиралась сутки, у Экхофф пропал багаж.
Тириль Экхофф и Йоханнес БёИгры в Пхёнчхане для норвежки не являются предметом гордости.
Наивысшим достижением остается 9-е место в гонке преследования, в которой победила немка Лаура Дальмайер. О местах в двадцатке на дистанции в 15 км и в спринте остается только сожалеть. Тем не менее командные виды состязаний — масс-старт и смешанная эстафета — добавили в копилку спортсменки бронзу и серебро соответственно.
Следующий сезон оказался для Экхофф более успешным — выигранная индивидуальная гонка на этапе Кубка мира в Канморе придала норвежке сил. На ЧМ, который проходил в Эстерсунде, она дважды поднималась на вершину подиума, а также завоевала серебро в гонке преследования. В итоге — 13-е место в общем зачете, что не могло не порадовать ее болельщиков.
Но настоящий прорыв произошел в карьере Экхофф в 2019 году. Биатлонистка взяла высокую планку на состязаниях в Хохфильцине, где, помимо эстафеты, показала блестящий результат в гонке преследования. Не снизила темпа Тириль и в Анси. На этом этапе она взяла золото в спринте и в ГП, тем самым трижды за 3 гонки подряд становясь победительницей. Благодаря этим и последующим победам на чемпионате мира биатлонистка стала обладательницей второго места в общем зачете, уступив пальму первенства Доротее Вирер.
Тириль Экхофф, Доротея Вирер и Николь ГонтьеЭмэгтэйчүүдийн масс стартад спринтэд түрүүлсэн Италийн Dorothea Wierer (0+0+1+1) түрүүллээ. Тэр босоо буудалтандаа 2…
Posted by Biathlon Lounge Mongolia on Monday, November 17, 2014
Не обошлось и без травм. В начале мая 2019-го на тренировке в Хольменколлене звезда биатлона ушибла левое бедро, которое мгновенно начало опухать. В результате проблемное место пришлось дренировать. Через месяц Тириль сломала мизинец на ноге, из-за чего вынуждена была прервать подготовку к следующим состязаниям.
Сезон 2019/2020 прошел для норвежки крайне удачно. Биатлонистка, подтянув технику стрельбы, не оставила без побед ни одно из соревнований Кубка мира.
По одной золотой медали в Эстерсунде и Оберхофе, две — в Хохфильцене и по три в Анси и Рупольдинге. Еще 2 подиума на чемпионате мира в Антхольце (эстафета и смешанная эстафета) помогли Экхофф удержать ее лидирующие позиции в общем зачете. Тем не менее все личные старты спортсменка провалила, причем из-за обидных элементарных ошибок.
Не осталась в стороне норвежская биатлонистка и от скандала с положительными пробами допинга у российских спортсменок во время проведения чемпионата мира по лыжным гонкам в Зеефельде. Тириль прокомментировала эту новость, сообщив, что сама не получала предложений, которые могли бы привести ее к дисквалификации.
Личная жизнь
Сфера личной жизни блондинки из Норвегии скрыта от посторонних глаз. Известно только, что бойфренда Тириль зовут Анунд Лид Бигланд, он тоже спортсмен, но только лыжник. Как сказала Экхофф, два биатлониста в одной семье — это слишком. Со своим парнем чемпионка проводит летние тренировки: вместе влюбленные отправляются в походы в горы, отдыхают в лесном домике.
Отдельное увлечение норвежки — вязание. Фотографии красивых легких изделий, выполненных собственными руками, Тириль выкладывает в социальной сети. Там же часто появляются фото с подругой Ингрид Тандревольд.
Тириль Экхофф и ее парень Анунд Лид БигландБиатлонные высоты Экхофф покорила, живя в Тронхейме, городе, который «штампует» чемпионов. Однако в 2016-м биатлонистка решила переехать в Осло, потому что из международных поездок добираться до дома приходилось с пересадками и многочасовым ожиданием в аэропорту.
Несмотря на невысокий рост (164 см при весе 59 кг) по параметрам фигуры Экхофф легко конкурирует с королевой биатлона Доротеей Вирер. Снимки в купальнике, которые периодически выкладывает на своей страничке норвежка, приводят в восхищение ее поклонников.
Тириль Экхофф сейчас
В конце 2020 года Экхофф подтвердила высокий класс своего мастерства.
Она финишировала первой на заключительной гонке этапа Кубка мира в Контиолахти.
Посленовогодний этап КМ 2021 года в Оберхофе завершился для Тириль очередной победой. Биатлонистке удалось довести точность стрельбы до 100 %, благодаря чему она выиграла спринтерскую гонку, оставив позади шведку Ханну Эберг и австрийку Лизу Терезу Хаузер.
По скорости норвежку опередила россиянка Елена Кручинкина, выступающая за Беларусь. Ее результат — на 1,8 секунды быстрее, но успешно завершить состязание спортсменке помешали 2 промаха. Тем не менее сборная Норвегии показала не лучший результат, во время эстафетной гонки финишировав 7-й. Экхофф осталась недовольна плохим выступлением, заявив, что сегодня коллеги не были командой.
Достижения
- 2010 – золотая и 2 бронзовые медали чемпионата Европы
- 2013 – 3 бронзовые медали этапов Кубка мира
- 2014 – золотая, серебряная и бронзовая медали Олимпиады в Сочи, две золотые, серебряная и 3 бронзовые медали этапов Кубка мира
- 2015 – бронзовая медаль чемпионата мира
- 2016 – 2 золотые и бронзовая медаль чемпионата мира, бронзовая медаль этапа Кубка мира
- 2017 – 3 золотые и 2 серебряные медали этапов Кубка мира
- 2018 – серебряная и бронзовая медали на Олимпийских играх
- 2019 – серебряная и 2 золотые медали чемпионата мира
- 2020 – 2 золотые медали чемпионата мира
- 2021 – золотая медаль Кубка мира
|
x-4.x
Удалите (перенесите) лишние файлы с этого диска и заного Установите ViPNet в программе обновления. 
exe и нажмите ОК
(Важно! Ключевая могла быть удалена или возвращена. Для уточнения подобной информации необходимо направить обращение в «ЦИТ») Необходимо переинициализировать клиент свежей ключевой. Ключевую можно запросить в ГАУ РК «ЦИТ» обычным обращением.
Для этого необходимо использовать свежую ключевую.
Биография Зои Алексеевны Башляевой — ДГКБ имени З.А. Башляевой
Башляева Зоя Алексеевна родилась 27 августа 1920 года в городе Чите.
В 1941 году окончила с отличием II-ой Московский медицинский институт имени Н. И. Пирогова по специальности педиатрия.
В 1941 году была призвана в армию и принимала участие в боевых действиях в Великой Отечественной войне. За участие в боевых действиях в качестве врача на калининском и на 2 прибалтийском фронтах З. А. Башляева была награждена меделью «За отвагу» и медалью «За Победу над Германией».
После демобидизации из армии в 1945 году в течение 8 лет работала участковым врачом детской поликлиники, где проявила себя как грамотный и требовательный руководитель. Последующие 7 лет она возглавляла районный отдел здравоохранения в городе Москве, после чего в 1969 году была назначена на должность заместителя начальника Главного управления здравоохранения Мосгорисполкома, в которой проработала до 1987 года.
В 1974 гозу З. А. Башляева защитили кандидатскую диссертацию.
При участии З. А. Башляевой в городе Москве впервые были открыты детские травматологические пункты и отделения неотложной помощи детям.
Под руководством З. А. Башляевой впервые в стране организована объединенная больница для оказания помощи при преждевременных родах и выхаживании недоношенных детей.
Созданы отделения реанимации для новорожденных с выездными реанимационными бригадами скорой медицинской помощи. открыта больница восстановительного лечения для детей с пороками развития лицевого скелета. Сформирована система централизованных биохимических и бактериологических лабораторий.
З. А. Башляева принимала непосредственное участие в разработке и строительстве новых поликлиник, больниц, родильных домов. За 1980-1985 годы в Москве при участии З. А. Башляевой было построено 23 детские поликлиники, 2 родильных дома, единственная в СССР больница восстановительного лечения детей с детскими церебральными параличами на юго-западе города Москвы.
З. А. Башляева принимала активное участие в общественной жизни города Москвы. Она неоднократно избиралась депутатом районных Советов города Москвы. и являлась членом исполкома Куйбышевского райсовета.
Зою Алексеевну Башляеву всегда отличала доброта, чуткость и сердечность в отношении с людьми, которые сочетались с высокой требовательностью и настойчивостью.
За большой вклад в дело развития здравоохранения столицы Зоя Алексеевна Башляева награждена: орденом «Трудового Красного Знамени», орденом «Знак Почета», значком «отличник здравоохранения». В 1970 году ей присвоено почетное звание «Заслуженный врач РФСФСР».
Благодоря усилиям З. А. Башляевой было завершено строительство уникальной многопрофильной больницы на 1000 коек в Тушино. При участии З. А. Башляевой наша больница была полностью укомплектована новейшим по тому времени оборудованием из стран членов Совета Экономической Взаимопомощи (СЭВ). Больница теперь заслуженно носит ее имя.
Зоя Алексеевна Башляева ушла из жизни на 86 году 05.04.2006 года.
Расширенные фильтры Калмана для чайников | Рауль Серрано
Итак, сначала мы вычисляем временные интервалы, а затем оцениваем положение в 2D и скорость в 2D. Мы предполагаем, что скорость постоянна между временными интервалами.
Матрица перехода состояний содержит информацию для оценки положения и скорости в форме матрицы:
Взято из Udacity SDC NanodegreeПомните, временные интервалы не постоянны:
Взято из Udacity SDC Nanodegree По мере увеличения интервала времени мы добавляем больше неуверенный в нашем положении и скорости к Государственной Ковариации П.
Матрицу перехода состояний можно разделить на две части: детерминированную часть и стохастическую часть . Стохастическая часть связана с вычислением матрицы ковариации. Эта фотография может помочь вам выяснить соотношение между обеими частями:
Из моих заметокКак вы можете видеть, вектор шума можно разделить на неслучайную матрицу (4×2) и случайную матрицу (2×1).
Матрица ковариации связана с ожиданиями, поскольку мы еще не знаем, каким будет вектор шума.Мы можем определить это как:
Взято из Udacity SDC NanodegreeКовариация процесса равна ожидаемому времени шума, которое он транспонирует. Как я показал ранее, шум можно разложить в G раз a.
Взято из Udacity SDC NanodegreeПоскольку G не содержит случайных величин, мы можем поместить его за пределы. Допустим, теперь у нас есть 3 статистических момента:
- Ожидаемое ускорение в x (ax).
- Ожидание ускорения в y (ay)
- Ожидание продукта.Поскольку ax и ay не коррелированы, это ожидание равно нулю.
Когда мы перемножаем все матрицы, получаем:
Взято из Udacity SDC NanodegreeМы собираемся получить данные из двух видов измерений (датчиков):
- Лазерные измерения
- Радарные измерения
Лазерные измерения позволяет нам получить текущее положение объекта, но не его скорость. С другой стороны, лазерные измерения имеют большее разрешение.
Radar Measurement идет дальше и позволяет нам также получать информацию о скорости, хотя это немного сложно.Мы привыкли работать с декартовыми координатами, но это измерение имеет форму полярных координат.
Здесь представлен новый вид матрицы H. Давайте посмотрим на следующее изображение.
Взято из Udacity SDC Nanodegree Левая часть изображения представляет собой обычный фильтр Калмана. Вам просто нужно умножить H * x´, чтобы получить позицию. С правой стороны процесс более сложный, вам нужно рассчитать отображение вручную, чтобы преобразовать декартовы координаты в полярные координаты.
Давайте поговорим о лазерных измерениях . Лидарные измерения будут иметь следующую форму:
Взято из Udacity SDC NanodegreeНа этапе обновления нам нужно сравнить это измерение с прогнозируемым. Если вы помните, матрица прогнозирования имеет форму:
Взято из Udacity SDC NanodegreeИтак, нам нужно избавиться от компонента скорости. Легко придумать матрицу для выполнения этой задачи, матрицу H:
Обозначение со штрихом (´) означает, что вы уже вычислили шаг прогнозирования, но еще не обновили измерение.
Но эти измерения также имеют свою ковариацию. На каждый компонент px и py влияет случайный шум. Наш вектор шума w имеет те же размеры, что и вектор измерений z . Если мы умножим вектор шума на его транспонирование, мы получим новую ковариационную матрицу R:
Взято из Udacity SDC Nanodegree. На другой диагонали есть несколько нулей, что означает, что шумы пикселей и py не коррелируют между друг друга.Вы можете задаться вопросом, откуда берутся эти значения шума, они предоставлены производителем.
А теперь давайте повеселимся, Radar Measurements — другая часть истории. В отличие от лазера, радар может измерять радиальную скорость .
Взято из Udacity SDC NanodegreeЧтобы упростить понимание, давайте нарисуем нашу систему. Исток сюжета представляет нашу машину и точку — пешехода.
Взято из Udacity SDC Nanodegreex всегда указывает в направлении движения автомобиля, а y — влево. Rho — это расстояние от исходной точки до пешехода. Подшипник phi представляет собой угол между rho и направлением x, а rho dot — это скорость изменения rho.
Не существует никакой матрицы H , как для измерения лидара, которая отображала бы вектор состояния x в полярные координаты.
Нам нужно отобразить его вручную, переведя из декартовых координат в полярные.
Мы можем линеаризовать систему, используя расширение Тейлора первого порядка .
Взято из Udacity SDC Nanodegree Из моих заметокТейлор пытается предсказать поведение линейной функции с учетом начальной точки, в данном случае среднего (равного нулю).
Но будьте осторожны !, поскольку мы работаем с несколькими измерениями, частичное производное превращается в якобиан с этой формой:
Взято из Udacity SDCПодведем итог разнице между фильтрами Калмана и расширенными фильтрами Калмана:
- H-матрица в фильтрах Калмана будет заменен на Hj (Якобиан )
- Для вычисления y функция h используется вместо матрицы H.
- Для вычисления x ′ функция обновления прогнозирования, f , используется вместо матрицы F .
- Матрица F будет заменена на F j при вычислении P ′.
Матрицы с j — якобианы. При изменении точки линеаризации мне приходится каждый раз пересчитывать якобианы.
Взято из Udacity SDCЭто мой личный обзор фильтров Kalman.Я мог допустить опечатки или концептуальные ошибки на протяжении всей статьи, если так, все отзывы приветствуются.
Пример расширенного фильтра Калмана в R
Сообщение о фильтре Калмана на прошлой неделе было сосредоточено на выводе алгоритма. Сегодня я продолжу работу с расширенным фильтром Калмана (EKF), который также может иметь дело с нелинейностями. Согласно Википедии, EKF считается стандартом де-факто в теории нелинейного оценивания состояния, навигационных системах и GPS.Фильтр Калмана
На прошлой неделе у меня была следующая динамическая линейная модель для фильтра Калмана:
\ [ \ begin {выровнено} x_ {t + 1} & = A x_t + w_t, \ quad w_t \ sim N (0, Q) \\ y_t & = G x_t + \ nu_t, \ quad \ nu_t \ sim N (0, R) \\ x_1 & \ sim N (\ hat {x} _0, \ Sigma_0) \ end {выровнен} \]
С \ (x_t \), описывающим эволюцию пространства состояний, \ (y_t \) наблюдениями, \ (A, Q, G, R, \ Sigma_0 \) матрицами соответствующих размеров, \ (w_t \) ошибкой эволюции и \ (\ nu_t \) ошибка наблюдения.
{-1} \\
\ hat {x} _ {t + 1} & = A \ hat {x_t} + K_ {t} (y_t — G \ hat {x} _t) \\
\ Sigma_ {t + 1} & = A \ Sigma_t A ‘- K_ {t} G \ Sigma_t A’ + Q
\ end {выровнен}
\]
Логистический рост
В качестве примера я буду использовать модель логистического роста, вдохновленную примером Хакелла, приведенным Домиником Стейницем.
Модель логистического роста может быть записана как инвариантная во времени динамическая система со скоростью роста \ (r \) и пропускной способностью \ (k \): \ [ \ begin {выровнено} \ dot {p} & = r p \ Big (1 — \ frac {p} {k} \ Big) \ end {выровнен} \] Вышеупомянутое обыкновенное дифференциальное уравнение имеет хорошо известное аналитическое решение:
\ [ p = \ frac {kp_0 \ exp (r \, t)} {k + p_0 (\ exp (r \, t) — 1)} \]
Предположим, я наблюдаю данные о популяции, для которой я знаю несущую способность \ (k \), но где скорость роста \ (r \) зашумлена.Расширенный фильтр Калмана
Тогда пространство состояний и модель наблюдения можно записать как: \ [ \ begin {выровнено} r_i & = r_ {i-1} \\ p_i & = \ frac {kp_ {i-1} \ exp (r_ {i-1} \ Delta T)} {k + p_ {i-1} (\ exp (r_ {i-1} \ Delta T) — 1)} \\ y_i & = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} r_i \\ p_i \ end {bmatrix} + \ nu \ end {выровнен} \]
Или с \ (x_i: = \ begin {bmatrix} r_i & p_i \ end {bmatrix} ‘\) как:
\ [ \ begin {выровнено} x_i & = a (x_i) \\ y_i & = G x_i + \ nu_i \\ \ nu_i & \ sim N (0, R) \ end {выровнен} \]
В моем примере модель пространства состояний является чисто детерминированной, поэтому нет никакого шума эволюции и, следовательно, \ (Q = 0 \).
С первоначальным предварительным предположением для \ (x_0 \) и \ (\ Sigma_0 \), и я готов к работе.
Код R ниже показывает мою реализацию с алгоритмом выше. Обратите внимание, что я использую функцию jacobian из пакета numDeriv . После нескольких временных шагов расширенный фильтр Калмана делает фантастическую работу по снижению шума. Возможно, это не должно вызывать особого удивления, поскольку локальная линеаризация функции логистического роста хорошо подойдет. Ситуация может быть иной для сильно нелинейных функций.В статье в Википедии о фильтре Калмана в таких случаях предлагается версия без запаха.Код R
Информация о сеансе
R версия 3.1.2 (2014-10-31)
Платформа: x86_64-apple-darwin13.4.0 (64-разрядная)
локаль:
[1] en_GB.UTF-8 / en_GB.UTF-8 / en_GB.UTF-8 / C / en_GB.UTF-8 / en_GB.UTF-8
прилагаемые базовые пакеты:
[1] статистика графики grDevices использует базы данных наборов данных
другие прикрепленные пакеты:
[1] numDeriv_2012.9-1
загружается через пространство имен (и не прикрепляется):
[1] tools_3.1.2 matlab — Расширенный фильтр Калмана (EKF) для нелинейных (преобразование координат — полярные в декартовы) измерения и линейные предсказания
ОБНОВЛЕНИЕ
Похоже, мы все идем вперед
Этот раздел неверен, и я благодарен за исправление.
Во-первых, ваш якобиан неверен для полярного преобразования в декартово, от
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
$$
\ begin {align}
х & = г \ соз \ varphi; \\
у & = г \ грех \ varphi.2} \\ \ theta = \ text {atan2} (y, x)}
$
Согласно
https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
частные производные такие же, как для $ \ text {atan} (y / x) $
так что якобиан @Royi верен, но уравнение измерения, которое он дает, неверно для $ - \ pi \ le \ theta \ le \ pi $.
Конец обновления
В сообщении говорится, что фильтр может не работать. Это ситуация, когда вам нужно поэкспериментировать, а жестких правил нет.
Существуют расширенные фильтры Калмана, в отличие от EKF.Есть фильтры первого порядка и фильтры второго порядка. Есть итерационные фильтры.
Одной из трудностей с использованием нелинейностей непосредственно в эволюции переменной состояния является сложность обновления нелинейного интегрирования для распространения среднего значения. В большинстве старых книг будет предпринята попытка модифицировать интеграцию Эйлера, используя термины ряда Тейлора. Вы также можете использовать решатель ODE, например интеграцию Рунге Кутты.
Вторая трудность - распространение дисперсии. Можно использовать термины ряда Тейлора или можно использовать UKF или фильтр частиц, оценивая разброс путем численного интегрирования.Для UKF - квадратурная или важная выборка для сажевого фильтра.
В смешанных системах, где нелинейно только измерение или только состояние, вы можете рассматривать линейную часть как линейную, известную как Блэквеллизация Рао.
KF / EKF не требует шума процесса, но у вас есть модель движения с переменным кинематическим состоянием, которая выглядит скучной без шума процесса. Для работы фильтра необходим шум измерения. Если у вас нет измерительного шума, вы используете наблюдатель состояния и не нуждаетесь в фильтре.
Есть много статей по той проблеме, которую вы описываете. Некоторые с моделью нелинейных измерений, а некоторые с моделью нелинейного состояния. Использование обратного диапазона в качестве системы координат очень распространено, особенно в случаях измерения только подшипников.
Книга Блэкмана
https://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0%2C47&q=blackman+multiple-target+tracking&oq=Blackman+multi
Подробно описывает системы координат и вопросы трансформации. Книга дорогая, но ее можно найти в хорошей библиотеке.Есть много способов подойти к проблеме.
EKF может быть больше, чем линеаризация. UKF фактически использует нелинейность напрямую, как и EKF с интеграцией ODE.
Следует отметить, что размер шага имеет значение.
ИМХО, это следовало бы назвать шведским фильтром Калмана.
Чтобы ответить на ваш вопрос, часто можно использовать нелинейность напрямую для распространения среднего (прогнозируемое измерение). Со стороны измерения нет интеграции.Обновление ковариации - сложная часть. Линеаризация - наиболее распространенный подход. UKF напрямую использует нелинейность, поэтому было бы странно сказать, что это была «плохая идея»
некоторые правки:
Даже в линейном состоянии, сценарии линейных измерений, модели переменных состояния кинематического отслеживания не включают аэродинамическое сопротивление, которое аппроксимируется членом, пропорциональным квадрату скорости. Технологический шум охватывает ошибки моделирования, а также возмущающие случайные силы, с которыми может столкнуться тело.
Технологический шум также важен, потому что он контролирует относительную значимость измерения и взвешивает эволюцию переменной состояния для прогноза или измерения. Без шума процесса фильтр не может отслеживать отклонения от модели состояния. Ваш фильтр может отслеживать. Существует метод, называемый «Взаимодействие с несколькими моделями» (IMM), который подходит для больших отклонений в модели состояния, но я не собираюсь упоминать о нем далее.
robot_localization вики - robot_localization 2.6.9 документация
robot_localization - это набор узлов оценки состояния, каждый из которых является реализацией нелинейного средства оценки состояния для роботов, перемещающихся в трехмерном пространстве. Он содержит два узла оценки состояния: ekf_localization_node и ukf_localization_node . Кроме того, robot_localization предоставляет navsat_transform_node , который помогает в интеграции данных GPS.
Характеристики
Все узлы оценки состояния в robot_localization имеют общие черты, а именно:
- Слияние произвольного количества датчиков. Узлы не ограничивают количество источников ввода. Если, например, ваш робот имеет несколько IMU или несколько источников одометрической информации, узлы оценки состояния в пределах
robot_localization могут поддерживать их все.
- Поддержка нескольких типов сообщений ROS. Все узлы оценки состояния в
robot_localization могут принимать сообщения nav_msgs / Odometry, sensor_msgs / Imu, geometry_msgs / PoseWithCovarianceStamped или geometry_msgs / TwistWithCovarianceStamped.
- Индивидуальная настройка входа для каждого датчика.Если данное сообщение датчика содержит данные, которые вы не хотите включать в оценку состояния, узлы оценки состояния в
robot_localization позволяют исключить эти данные для каждого датчика.
- Непрерывная оценка. Каждый узел оценки состояния в
robot_localization начинает оценку состояния транспортного средства, как только он получает одно измерение. Если в данных датчика есть выходной (то есть длительный период, в течение которого данные не поступают), фильтр продолжит оценивать состояние робота с помощью внутренней модели движения.
Все узлы оценки состояния отслеживают 15-мерное состояние транспортного средства: \ ((X, Y, Z, крен, тангаж, рыскание, \ dot {X}, \ dot {Y}, \ dot {Z}, \ точка {roll}, \ dot {pitch}, \ dot {yaw}, \ ddot {X}, \ ddot {Y}, \ ddot {Z}) \).
Другие ресурсы
Если вы новичок в robot_localization , ознакомьтесь с докладом ROSCon 2015, чтобы узнать, как приступить к работе.
Более подробную информацию можно найти в этой статье :
@inproceedings {MooreStouchKeneralizedEkf2014,
author = {T.Мур и Д. Стоуч},
title = {Обобщенная реализация расширенного фильтра Калмана для операционной системы робота},
год = {2014},
month = {июль},
booktitle = {Труды 13-й Международной конференции по интеллектуальным автономным системам (IAS-13)},
publisher = {Springer}
}
Расширенный фильтр Калмана (EKF) с примером кода Python - автоматический Addison
В этом руководстве мы расскажем все, что вам нужно знать о Extended Kalman Filters (EKF) . В конце я включил подробный пример с использованием кода Python, чтобы показать вам, как реализовать EKF с нуля.
Я рекомендую медленно пройти через это руководство. Это не к спеху. Появилось много новой терминологии, и я пытаюсь объяснить каждую деталь простым языком, термин за термином, всегда возвращаясь к работающему примеру (например, к автомобилю-роботу). Прежде чем переходить к следующему, постарайтесь понять каждый раздел этого руководства. Если что-то не имеет смысла, попробуйте еще раз. К концу этого руководства вы поймете, что такое EKF, и узнаете, как его создать, начав только с пустой программы Python.
EKF широко используются в реальных приложениях робототехники. Вы увидите их везде, от беспилотных автомобилей до дронов.
EKF полезны, когда:
- У вас есть робот с прикрепленными к нему датчиками, которые позволяют ему воспринимать мир.
- Датчики вашего робота шумят и не на 100% точны (что всегда так).
Выполняя все наблюдения датчиков через EKF, вы сглаживаете измерения датчиков с шумом и можете рассчитать более точную оценку состояния робота на каждом временном шаге t по мере того, как робот перемещается по миру.Под «состоянием» я подразумеваю «где находится робот», «какова его ориентация» и т. Д.
Чтобы получить максимальную отдачу от этого руководства, я рекомендую вам сначала пройти эти два руководства. Чтобы понять, что такое EKF, вы должны знать, что такое модель пространства состояний и модель наблюдения. Эти математические модели являются двумя основными строительными блоками для EKF.
В противном случае, если вы уверены в моделях пространства состояний и моделях наблюдений, сразу переходите к этому руководству.
Прежде чем мы углубимся в детали того, как работают EKF, давайте разберемся, что делают EKF на высоком уровне.Мы хотим знать, почему мы используем EKF.
Рассмотрим этот двухколесный роботизированный автомобиль с дифференцированным приводом ниже.
Мы можем смоделировать эту машину вот так. Автомобиль движется в плоскости координат x-y, а ось z направлена вверх, в небо:
Это вид того же самого робота с воздуха. Вы можете увидеть глобальную систему координат, систему координат робота, а также угловую скорость ω (обычно в радианах в секунду) и линейную скорость v (обычно в метрах в секунду):
В каком состоянии находится этот робот в некоторый момент времени t?
Состояние этого робота в некоторый момент времени t можно описать всего тремя значениями: его положением по оси x, положением по оси y и углом рыскания γ.Угол рыскания - это угол поворота вокруг оси z (которая указывает прямо из этой страницы), измеренный от оси x.
Вот вектор состояния:
В большинстве случаев на роботе установлены датчики. Информация от этих датчиков используется для генерации вектора состояния на каждом временном шаге.
Однако измерения датчика неточны. Они не точны на 100%. Они также могут быть шумными, сильно меняясь от одного временного шага к другому. Поэтому мы никогда не можем быть полностью уверены в том, где в мире находится робот и как он ориентирован.
Следовательно, векторы состояния, которые вычисляются на каждом временном шаге по мере того, как робот перемещается по миру, в лучшем случае равны оценке .
Как мы можем получить лучшую оценку состояния на каждом временном шаге t? Мы не хотим полностью полагаться на датчики робота при оценке состояния.
Вот что мы можем сделать.
Помните модель автомобиля-робота в пространстве состояний выше? Вот.
Вы увидите, что если мы знаем…
- Оценка состояния для предыдущего временного шага t-1
- Временной интервал dt от одного временного шага до следующего
- Линейная и угловая скорость автомобиля на предыдущем временном шаге t-1 (i . е. предыдущие управляющие входы … т.е. команды, которые были отправлены роботу, чтобы заставить колеса вращаться соответствующим образом)
- Оценка случайного шума (обычно небольшие значения ... когда мы отправляем команды скорости автомобилю, он не движется точно с этими скоростями, поэтому мы добавляем некоторый случайный шум)
… тогда мы можем оценить текущее состояние робота в момент времени t.
Затем, используя модель наблюдения, мы можем использовать оценку текущего состояния в момент времени t (см. Выше), чтобы сделать вывод, каким был бы соответствующий вектор измерения датчика на текущем временном шаге t (это вектор y слева уравнения ниже).
Из нашего руководства по модели наблюдения здесь было уравнение:
Примечание. Если приведенное выше уравнение не имеет для вас смысла, ознакомьтесь с учебным курсом по модели наблюдения, в котором я получил его с нуля и покажу пример в коде Python.
Вектор y представляет предсказанных измерений датчика для текущего временного шага t. Я говорю «предсказано», потому что помню процесс, который мы прошли выше. Мы начали с использования предыдущей оценки состояния (в момент времени t-1) для оценки текущего состояния в момент времени t.Затем мы использовали текущее состояние в момент времени t, чтобы сделать вывод, какими будут измерения датчика на текущем временном шаге (то есть вектор y).
Отсюда расширенный фильтр Калмана позаботится обо всем остальном. Он вычисляет средневзвешенных значений фактических измерений датчика на текущем временном шаге t и прогнозируемых измерений датчика на текущем временном шаге t , чтобы сгенерировать более точную оценку текущего состояния.
Расширенный фильтр Калмана - это алгоритм, который использует наши знания физики движения системы (т.е. модель пространства состояний), чтобы внести небольшие корректировки (то есть отфильтровать) фактические измерения датчиков (то есть то, что датчики робота фактически наблюдали), чтобы уменьшить количество шума и, как результат, произвести лучшую оценку состояния системы .
EKF, как правило, генерируют более точные оценки состояния (т. Е. Векторы состояния), чем использование только фактических измерений датчика.
В случае робототехники EKF помогают произвести плавную оценку текущего состояния роботизированной системы с течением времени, комбинируя как фактические измерения датчиков, так и прогнозируемые измерения датчиков, чтобы помочь устранить влияние шума и неточности в измерениях датчиков.
Так работают EKF на высоком уровне. Позже в этом уроке я рассмотрю алгоритм шаг за шагом.
В чем разница между фильтром Калмана и расширенным фильтром Калмана?
Обычный фильтр Калмана разработан для генерации оценок состояния так же, как и расширенный фильтр Калмана. Однако фильтр Калмана работает только тогда, когда модель пространства состояний (т.е. функция перехода состояний) является линейной; то есть функцию, которая управляет переходом из одного состояния в другое, можно изобразить в виде линии на графике).
Расширенный фильтр Калмана был разработан для применения фильтра Калмана к системам с нелинейной динамикой, таким как наш мобильный робот.
Например, алгоритм фильтра Калмана не будет работать с уравнением в такой форме:
Но это будет работать, если уравнение будет в таком виде:
Другой пример ... рассмотрим уравнение
Следующее состояние = 4 * (Текущее состояние) + 3
Это уравнение линии.В подобных системах можно использовать обычный фильтр Калмана.
Теперь рассмотрим это уравнение
Следующее состояние = текущее состояние + 17 * cos (текущее состояние).
Это уравнение нелинейное. Если бы вы изобразили это на графике, вы бы увидели, что это не график прямой линии. Обычный фильтр Калмана не работает в подобных системах. Так что же нам делать?
К счастью, математика может помочь нам линеаризовать нелинейные уравнения, подобные приведенному выше. Как только мы линеаризуем это уравнение, мы сможем использовать его в обычном фильтре Калмана.
Если бы вы увеличили масштаб до произвольной точки на нелинейной кривой, вы бы увидели, что она очень похожа на линию. С помощью расширенного фильтра Калмана мы преобразуем нелинейное уравнение в линеаризованную форму, используя специальную матрицу, называемую якобианом (см. Мой учебник по модели пространства состояний, в котором показано, как это сделать). Затем мы используем эту линеаризованную форму уравнения для завершения процесса фильтрации Калмана.
Теперь давайте посмотрим на предположения, лежащие в основе использования EKF.
EKF предполагают, что вы уже вывели два ключевых математических уравнения (т.е. модели):
- Модель пространства состояний: Модель пространства состояний (часто называемая моделью перехода состояний) - это математическое уравнение, которое помогает вам оценить состояние системы в момент времени t с учетом состояния системы в момент времени t-1.
- Модель наблюдения: Модель наблюдения - это математическое уравнение, которое выражает измерения датчика в момент времени t как функцию состояния робота в момент времени t.
Модель государственного пространства принимает следующий вид:
Также обычно в конец добавляется член вектора шума v t-1 . Этот термин шума известен как шум процесса . Он представляет собой ошибку в вычислении состояния.
В примере машины-робота из учебника по моделированию пространства состояний приведенное выше уравнение было расширено до:
Модель наблюдения имеет следующий вид:
В примере с роботизированной машиной из учебного пособия по модели наблюдения приведенное выше уравнение было:
Где:
Мы также предположили, что соответствующий шум (ошибка) для показаний нашего датчика был +/- 0.07 м для положения x, +/- 0,07 м для положения y и +/- 0,04 радиана для угла рыскания. Следовательно, вот вектор шума сенсора:
Обзор
На высоком уровне алгоритм EKF имеет два этапа: этап прогнозирования и этап обновления (этап исправления). Не волнуйтесь, если все это сбивает с толку. Мы шаг за шагом рассмотрим каждую строку алгоритма EKF. Каждая строка ниже соответствует той же строке в этой статье Википедии о EKF.
Шаг прогноза
- Используя модель пространства состояний робототехнической системы, спрогнозируйте оценку состояния в момент времени t на основе оценки состояния во время t-1 и управляющего входа, примененного в момент t-1.
- Это именно то, что мы сделали в моем руководстве по моделированию пространства состояний.
- Предскажите оценку ковариации состояния на основе предыдущей ковариации и некоторого шума.
Обновление (правильное) Шаг
- Вычислите разницу между фактическими измерениями датчика в момент времени t за вычетом того, что модель измерения предсказала, что измерения датчика будут для текущего временного шага t.
- Вычислить ковариацию остатка измерения.
- Рассчитайте почти оптимальное усиление Калмана.
- Вычислить обновленную оценку состояния для времени t.
- Обновить оценку ковариации состояния для времени t.
Давайте пройдемся по перечисленным выше пунктам и определим, какие термины, вероятно, будут для вас новыми.
Что означает ковариация?
Обратите внимание, что ковариация измеряет, насколько две переменные различаются по отношению друг к другу.
Например, предположим, что у нас есть две переменные:
X: количество часов, которое студент проводит за обучением
Y: Курс
Проведя несколько расчетов, находим:
Ковариация (X, Y) = 147
Что это значит?
Положительная ковариация означает, что обе переменные увеличиваются или уменьшаются вместе. Другими словами, по мере увеличения количества часов обучения возрастает оценка за курс. Точно так же, когда количество часов обучения уменьшается, оценка за курс уменьшается.
Отрицательная ковариация означает, что пока одна переменная увеличивается, другая уменьшается.
Например, может быть отрицательная ковариация между количеством часов, которые студент тратит на вечеринки, и его оценкой за курс.
Ковариация 0 означает, что две переменные не зависят друг от друга.
Например, цвет волос студента и оценка по курсу будут иметь ковариацию 0.
Пошаговое описание алгоритма EKF
Давайте рассмотрим каждую строку алгоритма EKF вместе, шаг за шагом. Мы будем использовать обозначения, приведенные на странице EKF Wikipedia, где для времени они используют k вместо t.
Продолжайте медленно в этом разделе. Есть много новых математических обозначений и много нижних и верхних индексов. Не торопитесь, чтобы понять каждую строчку алгоритма.Я действительно хочу, чтобы вы закончили эту статью, хорошо разбираясь в EKF.
1. Инициализация
Для первой итерации EKF мы начинаем в момент времени k. Другими словами, для первого запуска EKF мы предполагаем, что текущее время равно k .
Мы инициализируем вектор состояния и вектор управления для предыдущего временного шага k-1.
В реальном приложении, на первой итерации EKF, мы бы положили k = 1. Следовательно, предыдущий временной шаг k-1 будет равен 0.
В нашем примере работы роботизированной машины вектор начального состояния для предыдущего временного шага k-1 будет следующим. Помните, что вектор состояния выражается в глобальной системе координат:
В приведенном выше уравнении вы можете видеть, что мы предполагаем, что робот стартует в исходной точке, смотрящей в положительном глобальном направлении x .
Предположим, что управляющий входной вектор на предыдущем временном шаге k-1 был пустым (т.е. машине была дана команда оставаться в покое).Следовательно, начальный управляющий входной вектор выглядит следующим образом.
где:
v k-1 = поступательная скорость в раме робота в момент времени k-1
ω k-1 = угловая скорость вокруг оси z в момент времени k-1 (также известная как скорость рыскания или угол курса)
2. Прогнозируемая государственная оценка
Эта часть алгоритма EKF - это именно то, что мы делали в моем руководстве по моделированию пространства состояний.
Помните, сейчас время k.
Мы используем модель пространства состояний, оценку состояния для временного шага k-1 и управляющий входной вектор на предыдущем временном шаге (например, во время k-1), чтобы предсказать, каким будет состояние для времени k (которое является текущим шаг времени).
Уравнение выше - это то же самое, что и уравнение ниже. Помните, что мы использовали t в моих предыдущих уроках. Однако теперь я заменяю t на k, чтобы соответствовать нотации EKF в Википедии.
где:
Это прогнозируемое прогнозируемое состояние для времени k в настоящее время является нашим лучшим предположением о текущем состоянии системы (например, робота).
Мы также добавляем некоторый шум к вычислению, используя вектор шума процесса v k-1 (матрица 3 × 1 в примере машины-робота, потому что у нас есть три состояния: положение x, положение y и угол рыскания).
В нашем примере с работающей машиной-роботом мы могли бы захотеть сделать этот вектор шума чем-то вроде [0,01, 0.01, 0,03]. В реальном приложении вы можете поиграть с этим числом, чтобы увидеть, что у вас получится.
Пример автомобиля-робота
Для нашего примера работающего робота-автомобиля давайте посмотрим, как работает этап оценки прогнозируемого состояния. Помните, что dt = dk, потому что t = k… т.е. изменение во времени от одного временного шага к другому.
У нас есть…
где:
3. Прогнозируемая ковариация государственной оценки
Теперь у нас есть прогнозируемая оценка состояния для времени k, но прогнозируемые оценки состояния не являются точными на 100%.
На этом шаге - шаге 3 алгоритма EKF - мы прогнозируем ковариационную матрицу состояния P k | k-1 (иногда называемую сигмой) для текущего временного шага (т.е. k).
Вы заметили, что индекс P - k | k-1? Это означает, что P на временном шаге k зависит от P на временном шаге k-1.
Символ «|» означает «данный»… ..P на временном шаге k «данный» на предыдущем временном шаге k-1.
P k-1 | k-1 - квадратная матрица. Он имеет такое же количество строк (и столбцов), что и количество состояний в векторе состояний x .
Итак, в нашем примере машины-робота с тремя состояниями [x, y, угол рыскания] в векторе состояний P (или, обычно, сигма Σ) представляет собой матрицу 3 × 3. Матрица P имеет дисперсии по диагонали и ковариации по недиагонали.
Если такие термины, как дисперсия и ковариация, не имеют для вас большого смысла, не переживайте. Все, что вам действительно нужно знать о P (то есть о Σ в большом количестве литературы), это то, что это матрица , которая представляет собой оценку точности оценки состояния, которую мы сделали на шаге 2.
Для первой итерации EKF мы инициализируем P k-1 | k-1 некоторыми предполагаемыми значениями (например, 0,1 вдоль диагональной части матрицы и 0 в других местах).
F
k и F k T В этом случае F k и его транспонирование F k T эквивалентны A t-1 и A T t-1 , соответственно, из моего руководства по модели пространства состояний.
Вспомните из моего руководства по моделированию пространства состояний, что матрица A (матрица F в обозначении Википедии) представляет собой матрицу 3 × 3 (потому что в нашем примере с роботизированной машиной есть 3 состояния), которая описывает, как состояние системы изменяется от времени k От -1 до k, когда нет контроля (т.е. линейная и угловая скорость).
Если бы в нашей роботизированной системе было 5 состояний, матрица A была бы матрицей 5 × 5.
Обычно автомобиль-робот движется только тогда, когда колеса вращаются. Следовательно, в нашем текущем примере F k (т.е.A) - это просто единичная матрица, а F T k - транспонированная единичная матрица.
Q
к У нас есть последний член в предсказанной ковариации уравнения состояния, Q k .Q k - ковариационная матрица шума модели состояния. В нашем примере с бегущей машиной-роботом это также матрица 3 × 3, потому что есть три состояния.
В данном случае Q равно:
Ковариация между двумя одинаковыми переменными на самом деле является дисперсией . Например, Cov (x, x) = Variance (x).
Дисперсия измеряет отклонение от среднего для точек в одном измерении (т. Е. Значений x, значений y или значений угла рыскания).
Например, предположим, что Var (x) - действительно большое число.Это означает, что значения x встречаются повсюду. Если Var (x) низкое, это означает, что значения x сгруппированы вокруг среднего.
Член Q необходим, потому что в состояниях присутствует шум (т. Е. Они не идеальны). Q иногда называют «матрицей неопределенности действия». Когда вы применяете управляющие входные данные и , например, на временном шаге k-1, вы не получите точного значения для прогнозируемой оценки состояния в момент времени k (как мы рассчитали на шаге 2).
Q показывает, насколько фактическое движение отклоняется от предполагаемой модели пространства состояний. Это квадратная матрица, в которой количество строк и столбцов равно количеству состояний.
Мы можем начать с того, что позволим Q быть единичной матрицей и настроим значения методом проб и ошибок.
В нашем рабочем примере Q может иметь следующий вид:
Когда Q большое, EKF отслеживает большие изменения в измерениях сенсора более точно, чем для меньшего Q.
Другими словами, , когда Q велико, это означает, что мы доверяем нашим фактическим сенсорным наблюдениям больше, чем нашим прогнозируемым сенсорным измерениям в режиме наблюдения l… подробнее об этом позже в этом руководстве.
Объединяя термины
В нашем примере работы машины-робота это уравнение для первого прохода через EKF.
Уравнение стандартной формы:
становится этим после подключения значений для каждой из переменных:
4. Инновации или остаток измерения
На этом этапе мы вычисляем разницу между фактическими наблюдениями датчика и прогнозируемыми наблюдениями датчика.
z k - вектор наблюдения .Это вектор фактических показаний наших датчиков в момент времени k.
В нашем текущем примере предположим, что в этом случае у нас есть датчик, установленный на нашем мобильном роботе, который может выполнять прямые измерения трех компонентов состояния.
Следовательно:
ч (x̂ k | k-1 ) - наша модель наблюдения. Он представляет собой предсказанные измерения датчика в момент времени k с учетом предсказанной оценки состояния во время k из шага 2. Символ шляпы над x означает «предсказанный» или «оцененный».
Напомним, что модель наблюдения - это математическое уравнение, которое выражает предсказанные измерения датчика как функцию оценочного состояния.
Это (из учебного пособия по модели наблюдения):
- это то же самое (в обозначении Википедии):
Мы используем:
- матрица измерений H k (которая используется для преобразования прогнозируемой оценки состояния во время k в прогнозируемые измерения датчика во время k),
- прогнозируемая оценка состояния x̂ k | k-1 , которую мы вычислили на этапе 2
- и допущение шума датчика w k (который является вектором с тем же числом элементов, что и измерения датчика)
- для вычисления h (x̂ k | k-1 ).
В нашем примере работы машины-робота предположим, что в этом случае у нас есть датчик, установленный на нашем мобильном роботе, который может выполнять измерения направления состояния [x, y, угол рыскания]. В этом примере H - единичная матрица. Он имеет такое же количество строк, что и измерения датчика, и такое же количество столбцов, что и количество состояний), поскольку состояние отображается один в один с измерениями датчика.
Вы можете найти w k , посмотрев на ошибку датчика, которая должна быть в паспорте датчика, когда вы покупаете его в Интернете или в магазине.Если вы не уверены, что указать для шума сенсора, просто введите случайные (низкие) значения.
В нашем рабочем примере у нас есть датчик, который может непосредственно определять три состояния. Я установлю шум датчика для каждого из трех измерений следующим образом:
Теперь у вас есть все необходимое для расчета остатка инноваций ỹ с помощью этого уравнения:
5. Нововведение (или остаточная) Ковариация
На этом этапе мы:
- используют прогнозируемую ковариацию оценки состояния P k | k-1 из этапа 3
- и матрицу измерения H k и ее транспонирование .
- и R k (ковариационная матрица шума измерения датчика … которая является ковариационной матрицей, которая имеет такое же количество строк, как измерения датчика, и такое же количество столбцов, как измерения датчика)
- для вычисления S k , который представляет остаточную ковариацию измерения (также известную как ковариация предсказания измерения).
Мне нравится начинать с того, что R k представляет собой единичную матрицу. Затем вы можете настроить его методом проб и ошибок.
Если мы уверены в измерениях наших датчиков, значения по диагонали R уменьшаются до нуля.
Теперь у вас есть все значения, необходимые для расчета S k :
6. Почти оптимальное усиление Калмана
Мы используем:
- Прогнозируемая ковариация оценки состояния из шага 3,
- матрица измерений H k ,
- и S k из шага 5
- для расчета усиления Калмана K k
K указывает, как в значительной степени состояние и ковариация прогнозов состояния должны быть скорректированы (см. шаги 7 и 8 ниже) в результате новых фактических измерений датчика (z k ).
Если шум измерения датчика велик, то K приближается к 0, и измерения датчика будут в основном игнорироваться.
Если прогнозируемый шум (с использованием динамической модели / физики системы) велик, то K приближается к 1, и измерения датчика будут доминировать при оценке состояния [x, y, угол рыскания].
7. Обновленная государственная оценка
На этом этапе мы вычисляем обновленную (скорректированную) оценку состояния на основе значений из:
- Шаг 2 (прогнозируемая оценка состояния для текущего временного шага k),
- Шаг 6 (почти оптимальное усиление Калмана из 6),
- и Шаг 4 (остаток измерения).
Этот шаг отвечает на важнейший вопрос: каково состояние роботизированной системы после просмотра результатов измерения нового датчика? Это наша наилучшая оценка состояния роботизированной системы на текущем временном шаге k.
8. Обновленная ковариация государственной оценки
На этом этапе мы вычисляем обновленную (скорректированную) ковариацию оценки состояния на основе значений из:
- Шаг 3 (предсказанная ковариация оценки состояния для текущего временного шага k),
- Шаг 6 (почти оптимальное усиление Калмана из 6),
- матрица измерения H k .
Этот шаг отвечает на вопрос: какова ковариация состояния роботизированной системы после просмотра свежих измерений датчика?
Давайте запишем все, что мы узнали, в код. Вот пример реализации расширенного фильтра Калмана на Python. Метод принимает вектор наблюдения z k в качестве параметра и возвращает обновленное состояние и оценку ковариации.
Предположим, что наш робот стартует в начале координат (x = 0, y = 0), а угол рыскания равен 0 радианам.
Затем мы применяем прямую линейную скорость v, равную 4,5 метра в секунду, в момент времени k-1 и угловую скорость ω, равную 0 радиан в секунду .
На каждом временном шаге k мы берем новое наблюдение (z k ).
Код ниже проходит через 5 временных шагов (т.е. мы переходим от k = 1 к k = 5). Мы предполагаем, что интервал времени между каждым временным шагом составляет 1 секунду (т.е. dk = 1).
Вот наша серия наблюдений датчиков на каждом из 5 временных шагов… от k = 1 до k = 5 [x, y, угол рыскания]:
- k = 1: [4.721,0.143,0.006]
- k = 2: [9.353,0.284,0.007]
- k = 3: [14.773,0.422,0.009]
- k = 4: [18.246,0.555,0.011]
- k = 5 : [22.609,0.715,0.012]
Вот код:
импортировать numpy как np
# Автор: Эддисон Сирс-Коллинз
# https://automaticaddison.com
# Описание: Пример расширенного фильтра Калмана (двухколесный мобильный робот)
# Подавить научную нотацию при печати массивов NumPy
np.set_printoptions (точность = 3, подавление = Истина)
# Матрица
# 3x3 матрица -> число состояний x матрица числа состояний
# Показывает, как изменяется состояние системы [x, y, yaw]
# от k-1 до k, когда управляющая команда не выполняется.# Обычно робот на колесах движется только тогда, когда колесам говорят повернуться.
# В этом случае A - единичная матрица.
# A в литературе иногда обозначается F.
A_k_minus_1 = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0,1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Шум, применяемый к передней кинематике (расчет
# оценочного состояния в момент времени k из состояния
# переходная модель мобильного робота). Это вектор
# с количеством элементов равным количеству состояний
process_noise_v_k_minus_1 = np. массив ([0.01,0.01,0.003])
# Матрица ковариации шума модели состояния Q_k
# Когда Q велико, фильтр Калмана отслеживает большие изменения в
# датчик измеряет более точно, чем для меньшего Q.
# Q - квадратная матрица, которая имеет такое же количество строк, как и состояния.
Q_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0, 1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Матрица измерений H_k
# Используется для преобразования прогнозируемой оценки состояния в момент времени k
# в прогнозируемые измерения датчика в момент времени k.
# В этом случае H будет единичной матрицей, поскольку
# оценочное состояние отображается напрямую в измерения состояния из
# данные одометрии [x, y, yaw]
# H имеет то же количество строк, что и измерения датчика
# и такое же количество столбцов, как и в штатах.H_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0,1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Ковариационная матрица шума измерения датчика R_k
# Имеет такое же количество строк и столбцов, что и измерения датчика.
# Если мы уверены в измерениях, R будет близко к нулю.
R_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0, 1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Шум датчика. Это вектор с
# количество элементов равно количеству измерений датчика.
sensor_noise_w_k = np.array ([0,07,0.07,0.04])
def getB (рыскание, дельтак):
"" "
Вычисляет и возвращает матрицу B
3x2 matix -> количество состояний x количество управляющих входов
Управляющими входами являются скорость движения и
скорость вращения вокруг оси z от оси x в
против часовой стрелки.
[v, yaw_rate]
Показывает, как изменяется состояние системы [x, y, yaw].
от k-1 до k из-за управляющих команд (т. е. управляющего входа).
: param yaw: Угол рыскания (угол поворота вокруг оси z) в рад.
: param deltak: Изменение времени от временного шага k-1 до k в секундах
"" "
B = np.массив ([[np.cos (yaw) * deltak, 0],
[np.sin (рыскание) * deltak, 0],
[0, дельтак]])
вернуть B
def ekf (z_k_observation_vector, state_estimate_k_minus_1,
control_vector_k_minus_1, P_k_minus_1, dk):
"" "
Расширенный фильтр Калмана. Предохраняет зашумленные измерения датчика от
создать оптимальную оценку состояния робототехнической системы.
ВХОД
: param z_k_observation_vector Наблюдение из одометрии
3x1 NumPy Массив [х, у, рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры, метры, радианы].
: param state_estimate_k_minus_1 Оценка состояния в момент времени k-1
3x1 NumPy Массив [х, у, рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры, метры, радианы].: param control_vector_k_minus_1 Управляющий вектор, применяемый в момент времени k-1
3x1 NumPy Массив [V, V, угловой скорости рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры в секунду, метры в секунду, радианы в секунду].
: param P_k_minus_1 Оценка матрицы ковариации состояний в момент времени k-1
Массив 3x3 NumPy
: param dk Временной интервал в секундах
ВЫХОД
: вернуть state_estimate_k почти оптимальную оценку состояния в момент времени k
3x1 NumPy Array ---> [метры, метры, радианы]
: вернуть P_k state covariance_estimate для времени k
Массив 3x3 NumPy
"" "
######################### Предсказывать ######################## #####
# Прогнозировать оценку состояния в момент времени k на основе состояния
# оценка в момент времени k-1 и управляющий вход, применяемый в момент времени k-1.state_estimate_k = A_k_minus_1 @ (
state_estimate_k_minus_1) + (
getB (state_estimate_k_minus_1 [2], dk)) @ (
control_vector_k_minus_1) + (
process_noise_v_k_minus_1)
print (f'Оценка состояния до EKF = {state_estimate_k} ')
# Предсказать оценку ковариации состояния на основе предыдущего
# ковариация и немного шума
P_k = A_k_minus_1 @ P_k_minus_1 @ A_k_minus_1.T + (
Q_k)
################## Обновить (правильно) #########################
# Рассчитать разницу между фактическими измерениями датчика
# в момент времени k минус то, что предсказала модель измерения
# измерения датчика будут для текущего временного шага k.Measure_residual_y_k = z_k_observation_vector - (
(H_k @ state_estimate_k) + (
sensor_noise_w_k))
print (f'Observation = {z_k_observation_vector} ')
# Вычислить остаточную ковариацию измерения
S_k = H_k @ P_k @ H_k.T + R_k
# Рассчитать почти оптимальное усиление Калмана
# Мы используем псевдообратную матрицу, поскольку некоторые матрицы могут быть
# неквадратное или единственное число.
K_k = P_k @ H_k.T @ np.linalg.pinv (S_k)
# Вычислить обновленную оценку состояния для времени k
state_estimate_k = state_estimate_k + (K_k @ измерение_residual_y_k)
# Обновить оценку ковариации состояния для времени k
P_k = P_k - (K_k @ H_k @ P_k)
# Вывести лучшую (близкую к оптимальной) оценку текущего состояния робота
print (f'Оценка состояния после EKF = {state_estimate_k} ')
# Возвращаем обновленные оценки состояния и ковариации
вернуть state_estimate_k, P_k
def main ():
# Начинаем в момент k = 1
k = 1
# Временной интервал в секундах
dk = 1
# Создайте список наблюдений сенсора на последовательных временных шагах
# Каждый список в z_k является вектором наблюдения.z_k = np.array ([[4.721,0.143,0.006], # k = 1
[9.353,0.284,0.007], # k = 2
[14.773,0.422,0.009], # k = 3
[18.246,0.555,0.011], # k = 4
[22.609,0.715,0.012]]) # k = 5
# Предполагаемый вектор состояния в момент времени k-1 в глобальной системе отсчета.
# [x_k_minus_1, y_k_minus_1, yaw_k_minus_1]
# [метры, метры, радианы]
state_estimate_k_minus_1 = np.array ([0.0,0.0,0.0])
# Входной вектор управления в момент времени k-1 в глобальной системе отсчета.
# [v, yaw_rate]
# [метры в секунду, радианы в секунду]
# В литературе это обычно u.# Поскольку угловая скорость отсутствует, и робот начинает
# origin с углом рыскания 0 радиан, этот робот движется по
# положительная ось X в глобальной системе отсчета.
control_vector_k_minus_1 = np.array ([4.5,0.0])
# Матрица ковариации состояний P_k_minus_1
# Эта матрица имеет то же количество строк (и столбцов), что и
# количество состояний (т.е. матрица 3x3). P иногда называют
# как Сигма в литературе. Он представляет собой оценку
# точность оценки состояния в момент времени k, сделанная с использованием
# матрица перехода состояний.Начнем с предполагаемых значений.
P_k_minus_1 = np.array ([[0.1, 0, 0],
[0,0.1, 0],
[0, 0, 0,1]])
# Начните с k = 1 и выполните каждое из 5 наблюдений датчика,
# один за раз.
# Останавливаемся сразу после временного шага k = 5 (т.е. последнего наблюдения датчика)
для k obs_vector_z_k в enumerate (z_k, start = 1):
# Распечатать текущий временной шаг
print (f'Timestep k = {k} ')
# Запустите расширенный фильтр Калмана и сохраните
# почти оптимальное состояние и оценки ковариации
optim_state_estimate_k, covariance_estimate_k = ekf (
obs_vector_z_k, # Последнее измерение датчика
state_estimate_k_minus_1, # Наша последняя оценка состояния
control_vector_k_minus_1, # Самый последний управляющий ввод
P_k_minus_1, # Наша последняя ковариационная матрица состояний
dk) # Временной интервал
# Будьте готовы к следующему временному шагу, обновив значения переменных
state_estimate_k_minus_1 = optim_state_estimate_k
P_k_minus_1 = covariance_estimate_k
# Распечатать пустую строку
Распечатать()
# Программа запускается здесь с помощью основного метода
главный()
Внимательно посмотрите на вывод. Вы можете видеть, насколько EKF помогает нам сгладить измерения датчиков с шумом.
Например, обратите внимание на временном шаге k = 3, что наша модель пространства состояний предсказала следующее:
[x = 13,716 метра, y = 0,017 метра, угол рыскания = -0,022 радиан]
Наблюдение от датчика, установленного на роботе:
[x = 14,773 метра, y = 0,422 метра, угол рыскания = 0,009 радиана]
Ой! Похоже, наши датчики показывают, что наша модель пространства состояний недооценила все значения состояний.
Здесь нам помог EKF. Мы используем EKF, чтобы смешать оценочное значение состояния с данными датчика (которым мы не доверяем на 100%, но мы доверяем некоторым), чтобы получить лучшую оценку состояния:
[x = 14,324 метра, y = 0,224 метра, угол рыскания = -0,028 радиан]
И вуаля! Вот и все.
Расширенный фильтр Калмана - мощный математический инструмент, если вы:
- Имеет модель пространства состояний того, как ведет себя система,
- Имеет поток наблюдений датчиков о системе,
- Может представлять неопределенность в системе (неточности и шум в модели пространства состояний и в данных датчика)
- Вы можете объединить фактические наблюдения датчиков с прогнозами, чтобы получить хорошую оценку состояния роботизированной системы.
Вот и все по EKF. Теперь вы знаете, что означают все эти странные математические символы, и, надеюсь, EKF больше не пугает вас (это определенно было для меня, когда я впервые узнал о EKF).
В этом руководстве я предоставил вам EKF для простого двухколесного мобильного робота, но вы можете расширить EKF до любой системы, которую вы можете соответствующим образом смоделировать. Фактически, расширенный фильтр Калмана использовался в бортовой системе наведения и навигации для миссий космического корабля Apollo.
Если вы не знаете, что такое расширенный фильтр Калмана, вы можете вернуться к этому руководству в любое время в будущем.
Продолжайте строительство!
Если вы хотите глубже погрузиться в фильтры Калмана, ознакомьтесь с этой бесплатной книгой Роджера Лаббе на GitHub.
Разложение динамического режима на основе расширенного фильтра Калмана для одновременной идентификации системы и удаления шума
Алгоритм EKFDMD, описанный в разделе 3.1, принят в численных экспериментах ниже.
4.1 Проблема с небольшим количеством степеней свободы без системного шума
Во-первых, производительность EKFDMD исследуется для стандартной задачи по сравнению со стандартными DMD, KFDMD, tlsDMD и optDMD. Проблема примерно такая же, как и в предыдущем исследовании. [13] Эта задача немного изменена, чтобы включить в следующий подраздел системный шум в дискретизированной форме, хотя в этом подразделе сначала рассматривается только шум наблюдения.
Предполагается, что дискретизированные собственные значения расположены на λ 1 = exp [(± 2 πi Δ t )], λ 2 = exp [(± 5 πi Δ t )], и λ 3 = exp [(- 0.3 ± 11 πi ) Δ t ], где Δ t = 0,01. Соответствующие непрерывные собственные значения: ω 1 = (± 2 πi ), ω 2 = (± 5 πi ) и ω 3 = (−0,3 ± 11 πi ). Количество степеней свободы этой системы составляет d = 6. Исходные данные f были вычислены в предыдущем исследовании как
(49)
(50)
Однако вышеуказанная формулировка не может относиться к системному шуму.Следовательно, система интегрируется для каждого размера временного шага, и дискретизированный системный шум добавляется следующим образом:
(51)
где v ′ - системный шум для исходной системы. Уравнение 51 точно соответствует решению уравнения 49 для условия, в котором отсутствует v k . В этом подразделе шум системы не рассматривается с v k = 0.
Число степеней свободы этой системы составляет d = 6, которое расширяется до данных моментального снимка n = 16 степеней свободы путем применения Q QR матрицы QR-разложения случайной матрицы.Обратите внимание, что эта проблема была первоначально расширена до n = 400 DoF, но количество DoF ограничено в настоящем исследовании из-за вычислительных затрат EKFDMD, как упоминалось выше. В этом процессе случайная матрица T размером n × d , в которой каждый из компонентов является случайным числом, преобразуется в T = Q QR R QR на QR-разложение и исходные данные f k размера d расширяются до x k размерности n путем умножения на матрицу Q QR , а именно:
(52)
Затем создаются матрицы данных y путем добавления белого шума наблюдения к исходной матрице данных x , где шум w k выражается как.(53)
Здесь дисперсия () варьируется как 0,0001, 0,001, 0,01 и 0,1. Всего дано 500 снимков, и проанализированы собственные значения матрицы A на заключительном этапе.
Для начальных настраиваемых параметров фильтра Калмана диагональные части матрицы дисперсии установлены равными 10 3 . В этом подразделе диагональные элементы Q и R установлены равными 0 и, соответственно, а недиагональные элементы Q и R установлены равными 0.Допущение Q = 0 соответствует предоставлению информации о том, что системный шум отсутствует и система постоянна во времени.
Обсуждаются результаты для зашумленных данных при изменении уровня шума. На рисунках 1 и 2 показаны собственные значения, оцененные в репрезентативном случае и во всех 100 случаях, которые мы рассмотрели путем изменения начального числа случайного числа, соответственно. Результаты оценки собственных значений на рисунках 1 и 2 показывают, что DMD и KFDMD не подходят для точной оценки собственных значений системы в случае высокого уровня шума.С другой стороны, tlsDMD работает лучше, чем DMD и KFDMD. Кроме того, optDMD и EKFDMD, по-видимому, лучше всего подходят для оценки собственных значений. Это может быть связано с тем, что optDMD и EKFDMD обезвреживают данные, и более точное собственное значение системы может быть получено с помощью шумоподавленных данных. Производительность системной идентификации EKFDMD оказывается лучше, чем у tlsDMD.
Приведенные выше характеристики обсуждаются с количественными данными. На рис. 3 показана ошибка собственных значений.Ошибки в собственных значениях определяются нормой ближайшего вычисленного собственного значения к заданному истинному собственному значению. Здесь выбросы в этом процессе не удалялись. Погрешность собственных значений уменьшается с уменьшением уровня шума для всех методов. Этот график количественно показывает, что ошибка в основном уменьшается с порядком DMD, а также KFDMD, tlsDMD, EKFDMD и optDMD. Системный шум не учитывается в данной постановке задачи, и поэтому optDMD может дать кривую наилучшего соответствия для всех точек данных благодаря своим автономным процедурам.С другой стороны, EKFDMD постепенно обновляет информацию и не может использовать все данные сразу. Поэтому разумно, что optDMD работает немного лучше, чем EKFDMD.
Затем рассматривается восстановление данных. Вдобавок, как отмечалось ранее, ожидается, что EKFDMD сможет снижать шум в данных. Рис. 4, который иллюстрирует временной ряд истинных данных, данных наблюдения (зашумленных) и восстановленных данных DMD, tlsDMD, KFDMD, optDMD и EKFDMD. Этот график показывает, что DMD и KFDMD не могут предсказать колебания, потому что они оценивают колебания демпинга из-за шума, включенного в данные наблюдения. Более того, tlsDMD может предсказывать колебания для более слабого уровня шума. Хотя tlsDMD может предсказывать нейтральные колебания для более сильного уровня шума, как показано на рис. 4, фаза колебаний восстановленных данных сильно отличается от истинного значения. С другой стороны, optDMD и EKFDMD могут успешно уменьшить шум в данных, даже если уровень шума очень высок.
Уровень ошибки восстановленных данных количественно обсуждается в терминах рисунка 5, который показывает следующую нормированную ошибку:
(54) На рис. 5 показано, что ошибка уменьшается с увеличением порядка DMD, KFDMD, tlsDMD, EKFDMD и optDMD, как и в собственных значениях.Эта тенденция также показывает, что EKFDMD разумно работает для одновременной идентификации системы и удаления шума из данных путем однократного запуска алгоритма. Лучшая производительность optDMD по сравнению с EKFDMD проистекает из их сетевых или автономных характеристик.
Хотя нас интересует производительность для случая, когда присутствует системный шум, ниже мы обсудим влияние параметров на эту проблему без системного шума, прежде чем обсуждать проблему с системным шумом в подразделе 4.2.
4.1.1 Влияние количества снимков
м . Здесь рассматриваются эффекты параметров для задачи без системного шума. Сначала исследуется влияние количества снимков m . Подобно предыдущему обсуждению, ошибки в собственных значениях и восстановленных данных для DMD, tlsDMD, KFDMD, optDMD и EKFDMD вычисляются для различных значений m для данных. Эти ошибки оцениваются по 100 запускам и усредняются для каждого алгоритма.Ошибка собственных значений на рис. 6 показывает, что ошибки tlsDMD, EKFDMD и optDMD в основном уменьшаются (за исключением некоторых выступов), а ошибки DMD и KFDMD - нет. Интересно, что ошибка EKFDMD уменьшается быстрее и больше, чем ошибка tlsDMD для м ≤ 200, но меньше для м ≥ 300. Это связано с тем, что EKFDMD является однопутевым алгоритмом и его точность на ранней стадии невысока. достаточно высокий, но быстро увеличивается по мере получения более последовательных данных. Обратите внимание, что алгоритмы tlsDMD и optDMD являются автономными.
Затем обсуждаются ошибки в восстановленных данных, показанных на рис. 7. Ошибки DMD, KFDMD и tlsDMD не меняются. Ошибки DMD и KFDMD не уменьшаются, потому что они не могут лучше предсказать собственные значения для случая, когда m увеличивается, а ошибки tlsDMD не уменьшаются, несмотря на уменьшение ошибки в собственных значениях, потому что восстановленные данные с tlsDMD имеют другую фазу из-за очень сильного шума наблюдения на начальном снимке, как обсуждалось ранее.С другой стороны, ошибки EKFDMD и optDMD уменьшаются, потому что оба алгоритма находят наиболее подходящие данные для реконструкции, и точность этих данных увеличивается за счет использования информации увеличенного количества снимков.
4.1.2 Влияние несовпадающего уровня ошибки для
R . Далее обсуждается влияние несовпадающих настроек R , в то время как системная ошибка отсутствует и Q установлен на 0. В настоящем исследовании мы исследуем случаи несовпадения и, а также совпадающий случай. из, результаты которого представлены в предыдущих разделах.Количество снимков m установлено равным 500. Ошибки оцениваются по 100 запускам и усредняются для каждого случая, как и в предыдущих случаях. Ошибки EKFDMD в собственных значениях и восстановленных данных для случая несовпадения R показаны на рисунках 8 и 9 соответственно. Эти цифры показывают, что несовпадение R не влияет на результаты, за исключением случая сильного шума наблюдения (), потому что баланс R и Q изменяет поведение фильтра Калмана, тогда как изменение R при условии Q = 0 не влияет на поведение фильтра Калмана.
4.2 Проблема с малым количеством степеней свободы с системным шумом
Далее мы рассматриваем проблему с системным шумом. В этой задаче предполагается, что v ′, в результате v будет, и мы варьируемся как 0,0001, 0,001, 0,01 и 0,1. Для гиперпараметра Q установлено значение
(55)
и R устанавливается равным. Количество снимков m установлено равным 500, и для каждого случая проводится всего 100 прогонов.
На рис. 10 и 11 показаны собственные значения, оцененные в репрезентативном случае и во всех 100 рассмотренных нами случаях путем изменения начального числа случайных чисел, соответственно.На рисунках 10 и 11 показано, что DMD и KFDMD плохо работают для точной оценки собственных значений системы для случая, когда уровень шума высок, хотя его точность в некоторой степени улучшена по сравнению со случаем без шума системы. С другой стороны, tlsDMD, optDMD и EKFDMD работают лучше, чем DMD или KFDMD. Это может быть связано с тем, что алгоритмы шумоподавления для оценки собственных значений tlsDMD, optDMD и EKFDMD хорошо работают для этих данных, и может быть получено более точное собственное значение системы.На этих графиках производительность системной идентификации EKFDMD оказалась такой же хорошей, как у tlsDMD и optDMD. Наконец, ошибки оценки собственных значений показаны на рис. 12. На рис. 12 показано, что tlsDMD, optDMD и EKFDMD работают лучше, чем DMD и KFDMD. Среди tlsDMD, optDMD и EKFDMD tlsDMD работает немного лучше для λ 1 и λ 2 , тогда как производительность EKFDMD аналогична производительности tlsDMD для λ 3 . Этот результат показывает, что характеристики системной идентификации tlsDMD, optDMD и EKFDMD примерно одинаковы для случая, когда присутствует системный шум.
Рис. 10. Собственные значения для задачи с небольшим количеством степеней свободы и системным шумом.
Алгоритмы почти идентичны в (а) и (б), а tlsDMD, optDMD и EKFDMD почти идентичны в (в) и (г).
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g010
Затем обсуждается реконструкция с использованием этих алгоритмов, как показано на рис. 13. Как и в случаях без системного шума, данные, восстановленные с помощью DMD и KFDMD, сбрасываются на ранней стадии.Это опять же потому, что эти алгоритмы предсказывают режимы сброса. Данные, восстановленные с помощью tlsDMD, имеют хорошую амплитуду колебаний, но их фазы не совпадают с фазами исходных данных. Хотя данные, восстановленные с помощью optDMD, имеют хорошую амплитуду и фазу, данные вокруг пиков иногда не восстанавливаются. Эти ошибки вокруг пиков в данных реконструкции, полученных с помощью optDMD, вызваны системным шумом в данных, поскольку optDMD не может справиться с системным шумом. В отличие от алгоритма, описанного выше, данные, восстановленные с помощью EKFDMD, отлично согласуются с исходными данными.Это связано с тем, что EKFDMD может обрабатывать данные с системным шумом. Эта характеристика может использоваться для одновременной идентификации системы и удаления шума из данных, содержащих системный шум. Ошибка в восстановленных данных, показанная на рис. 14, ясно показывает эту характеристику.
4.2.1 Влияние баланса шума системы и шума наблюдения.
В этом подразделе обсуждается влияние баланса системного шума и шума наблюдения в данных наблюдений. Дисперсия системного шума установлена на 10 и 0.1. Здесь в задаче правильно заданы Q и R . В обоих случаях проводятся тестовые случаи с 0,0001, 0,001, 0,01 и 0,1, а результаты 100 запусков с разными начальными числами для случайных чисел усредняются для характеристик ошибок.
Сначала обсуждается случай с сильным системным шумом. Ошибки в оцененных собственных значениях, показанные на рис. 15, указывают на то, что ошибки всех алгоритмов почти одинаковы, и ошибка не уменьшается с уменьшением уровня шума.Этот рисунок показывает, что передовые методы DMD не улучшают значительно оценку собственных значений для данных с сильным системным шумом. Ошибка в восстановленных данных показана на рисунке 16. Этот рисунок показывает, что ошибка EKFDMD намного меньше, чем ошибки других алгоритмов. Это указывает на то, что EKFDMD может использоваться для уменьшения шума в случае, когда системный шум сильнее, чем шум наблюдения.
Затем обсуждается случай с более слабым системным шумом.Опять же, в этой задаче правильно указаны Q и R . Графики ошибок на рис. 17 показывают, что ошибки tlsDMD, optDMD и EKFDMD примерно одинаковы и ниже, чем у DMD и KFDMD. Этот рисунок показывает, что передовые методы DMD улучшают способность оценки собственных значений. Ошибка в восстановленных данных показана на рисунке 18. Этот график показывает, что ошибки уменьшаются в порядке DMD и KFDMD (так же, как и у DMD), tlsDMD, optDMD и EKFDMD.Рисунок также показывает, что EKFDMD работает лучше, чем optDMD, даже если присутствует более слабый системный шум. Этот факт указывает на то, что EKFDMD может использоваться для снижения шума в диапазоне, который мы исследовали для случая, когда присутствует системный шум, независимо от его силы.
4.2.2 Влияние несовпадающего уровня ошибки для
Q и R . В этом подразделе обсуждаются эффекты несовпадающего выбора Q и R . Дисперсия системного шума устанавливается такой же, как.Сначала обсуждается влияние несовпадающего Q . На рис. 19 показано, что несовпадение Q существенно не влияет на ошибку в оцененных собственных значениях, хотя результат с соответствующей настройкой (согласованный Q из) показывает лучшую производительность. На рис. 20 показаны ошибки в восстановленных данных с несовпадением Q . В этом случае, если предположить, что Q равен нулю, что соответствует предположению об отсутствии системного шума, то ошибка становится заметно больше.С другой стороны, если значение Q установлено в 10 или 0,1 раза больше, чем соответствующее значение, то результаты существенно не ухудшаются. Это указывает на то, что установка Q не оказывает существенного влияния на результаты, если учитывать системный шум, и Q правильно установлен в пределах порядка.
Затем обсуждается влияние несовпадающего R . Ошибка в оценочных собственных значениях, показанная на рис. 21, показывает, что несовпадение R существенно не меняет ошибку, хотя ошибки для меньших R или R = 0 становятся немного больше.На рис. 22 показаны ошибки в восстановленных данных при несовпадении R . В этом случае несовпадение R существенно не влияет на результаты. Этот результат показывает, что установка R не оказывает значительного влияния на результаты, как и в случае несовпадения Q .
Наконец, исследуются эффекты несовпадающих Q и R , но с условием Q 1,1 = R . Ошибки в оценочных собственных значениях и восстановленных данных для случаев, когда и показаны на рисунках 23 и 24, соответственно.Эти цифры показывают, что результаты не меняются для случая, в котором соотношение Q 1,1 к R не меняется. Как отмечалось ранее, соотношение Q и R должно быть тщательно выбрано для достижения точной оценки.
4.3 Проблема с умеренным количеством степеней свободы без системного шума
Затем аналогичная задача, но с увеличением числа степеней свободы до 200 с помощью той же процедуры, принимается с теми же уровнями шума.В этом случае вычислительные затраты очень высоки, и мы провели trPOD в качестве предобуславливателя. В этой задаче, во-первых, количество DoF уменьшается с 200 до 10 с помощью trPOD, а сокращенные данные обрабатываются с помощью EKFDMD. С другой стороны, для целей сравнения DMD и tlsDMD применяются непосредственно к данным для 200 степеней свободы, чтобы уменьшить количество степеней свободы до 10, поскольку эти алгоритмы могут обрабатывать матрицу данных такого размера в течение разумного вычислительного времени с помощью по своей сути включает усеченный SVD (такой же, как trPOD).В этой задаче было дано 500 образцов. Как и в предыдущем примере, диагональные элементы ковариационной матрицы были установлены равными 10 3 в начальном условии. Диагональные элементы Q и R установлены равными 0 и, соответственно, а их недиагональные элементы установлены равными 0.
Результаты trPOD показаны на рис. 25, где первый пространственный режим POD, полученный с помощью данных без шума, и режим, полученный с помощью данных с шумом, нанесены на график вместе.Обратите внимание, что режим распределения узлов в снимках называется пространственным режимом POD, который аналогичен анализу жидкости. Этот график показывает, что уровень шума очень высок и что оценка пространственного режима POD неточна. Однако загрязненные режимы POD, полученные с помощью данных с шумом, используются для EKFDMD.
Собственные значения и их ошибки для этой задачи показаны на рис. 26, 27 и 28. За исключением условия с сильным шумом (), trPOD + EKFDMD работает лучше, чем DMD, KFDMD и tlsDMD, тогда как optDMD работает лучше всего.Эта характеристика не меняется по сравнению с проблемой малых степеней свободы, как было показано ранее. Ухудшение производительности trPOD + EKFDMD для очень зашумленного состояния может произойти из-за того, что важный сигнал отфильтровывается в процедуре POD. Эта характеристика ослабляется за счет увеличения количества режимов POD, как показано ниже в данном документе, но количество режимов POD находится в компромиссном соотношении с вычислительными затратами. Восстановленные данные затем показаны на рис. 29. Даже если мы применим POD, восстановленные данные trPOD + EKFDMD и optDMD хорошо согласуются с исходными данными во всех условиях, тогда как DMD, KFDMD и tlsDMD не могут уловить поведение исходные данные в случаях сильного шума.Ошибка восстановленных данных показана на рис. 30. Как показано ранее, ошибка trPOD + EKFDMD меньше, чем ошибка tlsDMD, и больше, чем optDMD. Таким образом, trPOD + EKFDMD достаточно хорошо работает при восстановлении данных даже с несовершенными режимами POD, показанными на рис. 25.
Рис. 26. Собственные значения для задачи с небольшим количеством степеней свободы без системного шума.
Здесь ранг r установлен равным 10. Алгоритмы почти идентичны в (a) и (b), а optDMD и trPOD + EKFDMD почти идентичны в (c) и (d).
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g026
Рис. 27. Собственные значения для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума, где начальное значение случайного числа для нескольких работает.
Здесь ранг r установлен равным 10.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g027
4.3.1 Эффект усечения POD.
Для усечения POD номер ранга следует указать вручную.Таким образом, исследуется влияние номера ранга, выбранного пользователем. Здесь исследуются r = 6 и r = 20, тогда как предыдущие стандартные случаи были вычислены с r = 10, как отмечалось ранее. Ошибки в оцененных собственных значениях и восстановленных данных для условий r = 6 и r = 20 показаны на рисунках 31, 32, 33 и 34 соответственно. Для случая, когда системный шум отсутствует, ошибки оценки собственных значений с помощью trPOD + EKFDMD не работают с r = 6 для, и результирующая ошибка в восстановленных данных немного хуже, чем для tlsDMD для всех случаев с разным уровнем шума.Это может быть связано с тем, что trPOD отфильтровывает важный сигнал, а trPOD + EKFDMD не может восстановить исходный сигнал для случаев сильного шума. С другой стороны, ошибки в оценках собственных значений trPOD + EKFDMD с настройкой r = 20 ниже, чем у tlsDMD, или примерно такие же (а иногда и немного выше) у tlsDMD и ошибка в восстановленные данные trPOD + EKFDMD с r = 20 меньше, чем у tlsDMD. Следовательно, для использования tnPOD + EKFDMD с лучшей производительностью требуется более высокий ранг.Это очевидный компромисс между точностью оценки и вычислительными затратами.
Рис. 31. Ошибки в собственных значениях для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума, тогда как ранг r установлен равным 6.
Здесь начальное значение для случайных чисел отличается для нескольких прогонов. .
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g031
Рис. 32. Ошибки в восстановленных данных для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума, тогда как ранг r равен установлено равным 6.
Здесь начальное число случайных чисел отличается для нескольких прогонов.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g032
Рис. 33. Ошибки в собственных значениях для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума, тогда как ранг r установлен быть 20.
Здесь начальное значение случайного числа отличается для нескольких прогонов.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g033
Рис. 34. Ошибки в восстановленных данных для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума, тогда как ранг r установлен равным 20.
Здесь начальное число для случайного числа равно разные для нескольких прогонов.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g034
4.4 Проблема с умеренным количеством степеней свободы с системным шумом
Далее мы рассматриваем аналогичную задачу, в которой используется системный шум.Дисперсия системного шума устанавливается равной показанной ранее проблеме малой глубины резкости. Что касается процедуры EKFDMD, trPOD используется как прекондиционер, аналогично предыдущему подразделу. Опять же, в этой задаче количество DoF уменьшается с 200 до 10 с помощью trPOD, а сокращенные данные обрабатываются с помощью EKFDMD. С другой стороны, DMD, tlsDMD и optDMD применяются непосредственно к данным для 200 степеней свободы, чтобы уменьшить количество степеней свободы до 10. Более того, в этой задаче было дано 500 выборок.Диагональные элементы ковариационной матрицы установлены равными 10 3 в начальном состоянии. Диагональные элементы R и Q 1,1 установлены равными и, соответственно, а недиагональные элементы R и Q 1,1 установлены равными 0.
Собственные значения и их ошибки для этой задачи показаны на рис. 35, 36 и 37. Интересно, что в этом состоянии все алгоритмы работают одинаково. Ухудшение производительности для trPOD + EKFDMD в этом случае не обнаружено вместе с результатами, представленными ниже в данном документе.Затем восстановленные данные показаны на рис. 38. На рис. 38 показано, что DMD, KFDMD и tlsDMD не могут уловить поведение исходных данных, в то время как optDMD работает нормально, но иногда не может уловить поведение вокруг пиков. Даже если мы применим декомпозицию POD, данные, восстановленные с помощью trPOD + EKFDMD, лучше всего согласуются с исходными данными. Ошибка в восстановленных данных показана на рис. 39. Как было показано ранее, ошибка EKFDMD является наименьшей в исследуемом алгоритме, подобно проблеме малых степеней свободы.Таким образом, trPOD + EKFDMD хорошо работает для восстановления данных, особенно для случая, когда присутствует системный шум, даже при небольшом количестве степеней свободы.
Рис. 37. Ошибки в собственных значениях для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы с системным шумом, где начальное значение для случайных чисел различается для нескольких прогонов.
Здесь ранг r установлен равным 10.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g037
4.4.1 Эффекты усечения POD.
Подобно случаям без системного шума, исследуются эффекты ранжирования, выбранного пользователем. Здесь исследуются r = 6 и r = 20, где предыдущие стандартные случаи вычисляются с r = 10, как отмечалось ранее. Ошибки в собственных значениях, оцененные с усеченными POD r = 6 и r = 20, и ошибки в восстановленных данных с усеченными POD r = 6 и r = 20 показаны на рис. , 41, 42 и 43.Эти графики аналогичны графикам с усеченным POD r = 10, что указывает на то, что ранг для усечения POD не оказывает существенного влияния на результаты для случая, когда присутствует системный шум.
Рис. 41. Ошибки в восстановленных данных для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы без системного шума для случая, когда ранг r установлен равным 6, где начальное число для случайных чисел отличается для нескольких прогонов. .
https: // doi.org / 10.1371 / journal.pone.0209836.g041
Рис. 42. Ошибки в собственных значениях для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы с системным шумом для случая, когда ранг r установлен равным 20, где начальное число для случайных чисел различается для нескольких прогонов.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g042
Рис. 43. Ошибки в восстановленных данных для нескольких прогонов задачи с умеренным количеством степеней свободы с системным шумом для случая ранга r установлен на 20, где начальное число для случайных чисел различается для нескольких прогонов.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0209836.g043
4.5 Применение к проблеме жидкости
Проведено моделирование двумерного обтекания цилиндра. Число Маха скорости набегающего потока установлено равным 0,3, а число Рейнольдса, основанное на скорости набегающего потока и диаметре цилиндра, установлено равным 300. Для анализа использовался LANS3D, [25], который представляет собой собственный решатель сжимаемых жидкостей. , принимается. Используется цилиндрическая расчетная сетка с количеством точек сетки в радиальном и азимутальном направлениях 250 и 111 соответственно.Компактная разностная схема [26] шестого порядка точности используется для пространственных производных, а схема обратного дифференцирования второго порядка, сходящаяся неявным симметричным методом Гаусса-Зейделя с альтернативным направлением [27, 28], используется для интегрирования по времени. . См. Ссылку [29] для получения дополнительной информации. Исходная точка устанавливается как центр цилиндра, а разрешенная область (где плотность сетки более мелкая) устанавливается внутри 10 d вдали от исходной точки. Здесь d - диаметр цилиндра.Для любого анализа DMD данные квазистационарного потока при x = [0, 10 d ], y = [−5 d , 5 d ], который находится в области следа, являются использовал. Данные отображаются на равномерно распределенную сетку 100 × 100. Анализ DMD обработал 500 выборок пяти сквозных данных с добавлением шума наблюдения или без него, тогда как дисперсия () установлена равной 0,02. В алгоритме EFKDMD диагональные части ковариационной матрицы изначально установлены равными 10 3 , как и в предыдущих задачах.Диагональные элементы Q и R установлены равными 0 и 0,02 соответственно, в то время как недиагональные элементы Q и R установлены равными 0.
Сначала результаты без шума обрабатываются DMD, tlsDMD и KFDMD, где KFDMD принимает усеченный POD (уравнение 46) в качестве устройства предварительной обработки. Собственные значения, вычисленные методами DMD, tlsDMD и trPOD + KFDMD, показаны на рис. 44. Собственные значения, вычисленные KFDMD, хорошо согласуются со стандартными DMD.Самые низкие частоты, вычисленные с помощью DMD и KFDMD, соответствуют числу Струхаля St = fd / u ∞ ∼ 0,2, что является хорошо известной характеристической частотой для вихревой дорожки Кармана следа от цилиндра, где f и u ∞ - частота и скорость набегающего потока соответственно.
Затем обрабатываются данные с шумом. Данные моментального снимка поля мгновенного потока показаны на рисунке 45. Поля потока, отфильтрованные с использованием только trPOD, показаны на рисунке 46.Шум можно уменьшить с помощью trPOD. Эти данные с 30 степенями свободы используются для анализа KFDMD.
Рис. 47, который иллюстрирует собственные значения DMD, tlsDMD и EKFDMD, показывает, что результаты EKFDMD лучше, чем результаты стандартных DMD и tlsDMD. Здесь trPOD + EKFDMD точно предсказывает от установившегося режима потока (собственное значение, равное единице) до пятого режима колебаний, который соответствует шести точкам в верхней половине единичного круга. Кроме того, следует отметить, что сильная сторона EKFDMD состоит в том, что данные удаляются один раз.На рис. 48 показаны истории режимов 2, 4, 6 и 8 trPOD. Истории режимов 2 и 4 примерно одинаковы для зашумленных данных и EKFDMD в сочетании с модулем предварительной обработки trPOD, поскольку эти режимы достаточно сильны по сравнению с шумом. уровень. С другой стороны, история режимов 6 и 8 хорошо очищена. Наконец, поля потока шумоизолированных данных (в этом случае фильтруются временные коэффициенты режимов trPOD) показаны на рис. 49, а данные немного очищены по сравнению с результатами, полученными только с trPOD, как показано на рис. 46.
Renalytix AI привлекает 29 миллионов долларов через IPO для диагностики заболеваний почек на основе искусственного интеллекта
Почти половина пациентов с запущенным заболеванием почек не знают о серьезности своего заболевания, а это означает, что они часто не получают лечения, пока их состояние не достигнет критического уровня.
Renalytix AI, созданный британским производителем диагностических и медицинских устройств EKF Diagnostics, пытается снизить затраты и улучшить результаты для пациентов за счет использования машинного обучения, чтобы собрать воедино разрозненные наборы данных и выявить, какие пациенты подвергаются наибольшему риску заболевания почек.
Раннее обнаружение или предупреждающие признаки могут привести к разработке более эффективных планов лечения, направленных на предотвращение течения заболевания, например, направление к специалистам или начало приема лекарств, таких как ингибиторы АПФ и SGLT2.
Компания недавно привлекла 29 миллионов долларов через первичное публичное размещение акций на альтернативном инвестиционном рынке Лондонской фондовой биржи, чтобы активизировать усилия по коммерциализации и клинической проверке своих продуктов.
Генеральный директор Renalytix AI Джеймс Маккалоу сказал, что компания решила привлечь капитал через открытые рынки из-за связей ее материнской компании с учреждениями в Соединенном Королевстве, а также из-за желания получить финансирование в рамках плоской структуры капитала.
Первый продукт компании, диагностическое средство, известное как KidneyIntelX, направлено на выявление пациентов с риском особенно быстрого прогрессирования заболевания почек с использованием данных истории болезни, биомаркеров крови и других сопутствующих заболеваний, таких как диабет 2 типа.
Технология была первоначально задумана на горе Синай и разрабатывается в сотрудничестве с академическим медицинским центром. Работая с Mount Sinai, Renalytix может получить доступ к хранилищу данных системы здравоохранения, в котором хранятся 3 миллиона деидентифицированных историй болезни пациентов, а также к BioMe Biobank, биохранилищу пациентов на 43000 человек, который включает образцы крови, генетическую информацию и связанные Данные EHR.
Этот набор данных является ключевым, поскольку Renalytix стремится проверить свою технологию на большом разнообразном наборе населения.
«Это позволяет нам выполнять более крупномасштабную быструю валидацию среди разнообразной популяции, что вам необходимо, потому что с точки зрения диагностики вы не хотите чрезмерно подходить к одному конкретному демографическому или фенотипу», - сказал Маккалоу в телефонном интервью.
Изначально новый капитал компании будет направлен в основном на организацию многоцентрового исследования в первой половине 2019 года, которое может обеспечить клиническую валидацию для окончательного разрешения FDA.
Renalytix также планирует провести перспективное исследование влияния на полезность, чтобы понять передовой опыт использования диагностики, как она влияет на пациентов и как она вписывается в существующий клинический рабочий процесс.
Маккалоу сказал, что компания надеется начать сотрудничество с академическими медицинскими центрами и интегрированными системами здравоохранения в качестве первых клиентов в следующем году.
Помимо того, что это первый заказчик и исследователь, Mt. Синай также является инвестором Renalytix, вложив 2 миллиона долларов в акционерный капитал, когда компания стала публичной.
«Мы рады сотрудничеству с RenalytixAI, новым лидером отрасли в области искусственного интеллекта в здравоохранении, в разработке передовых методов прогнозирования и диагностики заболеваний почек», - сказал Эрик Лиум, исполнительный вице-президент Mount Sinai Innovation Partners.
«Заболевание почек представляет собой растущий кризис здравоохранения во всем мире, и раннее выявление и вмешательство могут изменить течение этого заболевания».
Mount Sinai Innovation Partners - группа, занимающаяся лицензированием и коммерциализацией научных разработок в системе здравоохранения Mount Sinai, роль, которую Маккалоу охарактеризовал как «важную» в развитии технологий Renalytix.
Второй продукт, предлагаемый компанией, основанный на исследованиях профессора Барбары Мерфи из Mount Sinai, направлен на отторжение трансплантата почки и призван помочь лучше руководствоваться клиническими решениями в процессе трансплантации. Это может включать такие аспекты, как правильное использование иммунодепрессантов и отслеживание развития фиброза почек у реципиентов трансплантата.
В конечном счете, Маккалоу сказал, что компания стремится разработать «алгоритмическую платформу», которая может быть использована в различных сценариях использования, таких как участие в клинических испытаниях, отслеживание динамики заболевания и оказание помощи врачам и фармацевтическим компаниям в более эффективном участии в точной медицине при заболеваниях почек.
Renalytix - не единственная компания, которая занимается применением компьютерных технологий искусственного интеллекта для диагностики, хотя большинство из них работают в сфере медицинской визуализации.
Существуют расширенные фильтры Калмана, в отличие от EKF.Есть фильтры первого порядка и фильтры второго порядка. Есть итерационные фильтры. 
Узлы не ограничивают количество источников ввода. Если, например, ваш робот имеет несколько IMU или несколько источников одометрической информации, узлы оценки состояния в пределах 
В конце я включил подробный пример с использованием кода Python, чтобы показать вам, как реализовать EKF с нуля.
е. предыдущие управляющие входы … т.е. команды, которые были отправлены роботу, чтобы заставить колеса вращаться соответствующим образом)
Как только мы линеаризуем это уравнение, мы сможем использовать его в обычном фильтре Калмана.
Следовательно, вот вектор шума сенсора:
Другими словами, по мере увеличения количества часов обучения возрастает оценка за курс. Точно так же, когда количество часов обучения уменьшается, оценка за курс уменьшается.
Помните, что dt = dk, потому что t = k… т.е. изменение во времени от одного временного шага к другому.
Это квадратная матрица, в которой количество строк и столбцов равно количеству состояний.
Вот пример реализации расширенного фильтра Калмана на Python. Метод принимает вектор наблюдения z k в качестве параметра и возвращает обновленное состояние и оценку ковариации.
массив ([0.01,0.01,0.003])
# Матрица ковариации шума модели состояния Q_k
# Когда Q велико, фильтр Калмана отслеживает большие изменения в
# датчик измеряет более точно, чем для меньшего Q.
# Q - квадратная матрица, которая имеет такое же количество строк, как и состояния.
Q_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0, 1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Матрица измерений H_k
# Используется для преобразования прогнозируемой оценки состояния в момент времени k
# в прогнозируемые измерения датчика в момент времени k.
# В этом случае H будет единичной матрицей, поскольку
# оценочное состояние отображается напрямую в измерения состояния из
# данные одометрии [x, y, yaw]
# H имеет то же количество строк, что и измерения датчика
# и такое же количество столбцов, как и в штатах.H_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0,1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Ковариационная матрица шума измерения датчика R_k
# Имеет такое же количество строк и столбцов, что и измерения датчика.
# Если мы уверены в измерениях, R будет близко к нулю.
R_k = np.array ([[1.0, 0, 0],
[0, 1.0, 0],
[0, 0, 1.0]])
# Шум датчика. Это вектор с
# количество элементов равно количеству измерений датчика.
sensor_noise_w_k = np.array ([0,07,0.07,0.04])
def getB (рыскание, дельтак):
"" "
Вычисляет и возвращает матрицу B
3x2 matix -> количество состояний x количество управляющих входов
Управляющими входами являются скорость движения и
скорость вращения вокруг оси z от оси x в
против часовой стрелки.
[v, yaw_rate]
Показывает, как изменяется состояние системы [x, y, yaw].
от k-1 до k из-за управляющих команд (т. е. управляющего входа).
: param yaw: Угол рыскания (угол поворота вокруг оси z) в рад.
: param deltak: Изменение времени от временного шага k-1 до k в секундах
"" "
B = np.массив ([[np.cos (yaw) * deltak, 0],
[np.sin (рыскание) * deltak, 0],
[0, дельтак]])
вернуть B
def ekf (z_k_observation_vector, state_estimate_k_minus_1,
control_vector_k_minus_1, P_k_minus_1, dk):
"" "
Расширенный фильтр Калмана. Предохраняет зашумленные измерения датчика от
создать оптимальную оценку состояния робототехнической системы.
ВХОД
: param z_k_observation_vector Наблюдение из одометрии
3x1 NumPy Массив [х, у, рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры, метры, радианы].
: param state_estimate_k_minus_1 Оценка состояния в момент времени k-1
3x1 NumPy Массив [х, у, рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры, метры, радианы].: param control_vector_k_minus_1 Управляющий вектор, применяемый в момент времени k-1
3x1 NumPy Массив [V, V, угловой скорости рыскания] в глобальной системе отсчета
в [метры в секунду, метры в секунду, радианы в секунду].
: param P_k_minus_1 Оценка матрицы ковариации состояний в момент времени k-1
Массив 3x3 NumPy
: param dk Временной интервал в секундах
ВЫХОД
: вернуть state_estimate_k почти оптимальную оценку состояния в момент времени k
3x1 NumPy Array ---> [метры, метры, радианы]
: вернуть P_k state covariance_estimate для времени k
Массив 3x3 NumPy
"" "
######################### Предсказывать ######################## #####
# Прогнозировать оценку состояния в момент времени k на основе состояния
# оценка в момент времени k-1 и управляющий вход, применяемый в момент времени k-1.state_estimate_k = A_k_minus_1 @ (
state_estimate_k_minus_1) + (
getB (state_estimate_k_minus_1 [2], dk)) @ (
control_vector_k_minus_1) + (
process_noise_v_k_minus_1)
print (f'Оценка состояния до EKF = {state_estimate_k} ')
# Предсказать оценку ковариации состояния на основе предыдущего
# ковариация и немного шума
P_k = A_k_minus_1 @ P_k_minus_1 @ A_k_minus_1.T + (
Q_k)
################## Обновить (правильно) #########################
# Рассчитать разницу между фактическими измерениями датчика
# в момент времени k минус то, что предсказала модель измерения
# измерения датчика будут для текущего временного шага k.Measure_residual_y_k = z_k_observation_vector - (
(H_k @ state_estimate_k) + (
sensor_noise_w_k))
print (f'Observation = {z_k_observation_vector} ')
# Вычислить остаточную ковариацию измерения
S_k = H_k @ P_k @ H_k.T + R_k
# Рассчитать почти оптимальное усиление Калмана
# Мы используем псевдообратную матрицу, поскольку некоторые матрицы могут быть
# неквадратное или единственное число.
K_k = P_k @ H_k.T @ np.linalg.pinv (S_k)
# Вычислить обновленную оценку состояния для времени k
state_estimate_k = state_estimate_k + (K_k @ измерение_residual_y_k)
# Обновить оценку ковариации состояния для времени k
P_k = P_k - (K_k @ H_k @ P_k)
# Вывести лучшую (близкую к оптимальной) оценку текущего состояния робота
print (f'Оценка состояния после EKF = {state_estimate_k} ')
# Возвращаем обновленные оценки состояния и ковариации
вернуть state_estimate_k, P_k
def main ():
# Начинаем в момент k = 1
k = 1
# Временной интервал в секундах
dk = 1
# Создайте список наблюдений сенсора на последовательных временных шагах
# Каждый список в z_k является вектором наблюдения.z_k = np.array ([[4.721,0.143,0.006], # k = 1
[9.353,0.284,0.007], # k = 2
[14.773,0.422,0.009], # k = 3
[18.246,0.555,0.011], # k = 4
[22.609,0.715,0.012]]) # k = 5
# Предполагаемый вектор состояния в момент времени k-1 в глобальной системе отсчета.
# [x_k_minus_1, y_k_minus_1, yaw_k_minus_1]
# [метры, метры, радианы]
state_estimate_k_minus_1 = np.array ([0.0,0.0,0.0])
# Входной вектор управления в момент времени k-1 в глобальной системе отсчета.
# [v, yaw_rate]
# [метры в секунду, радианы в секунду]
# В литературе это обычно u.# Поскольку угловая скорость отсутствует, и робот начинает
# origin с углом рыскания 0 радиан, этот робот движется по
# положительная ось X в глобальной системе отсчета.
control_vector_k_minus_1 = np.array ([4.5,0.0])
# Матрица ковариации состояний P_k_minus_1
# Эта матрица имеет то же количество строк (и столбцов), что и
# количество состояний (т.е. матрица 3x3). P иногда называют
# как Сигма в литературе. Он представляет собой оценку
# точность оценки состояния в момент времени k, сделанная с использованием
# матрица перехода состояний.Начнем с предполагаемых значений.
P_k_minus_1 = np.array ([[0.1, 0, 0],
[0,0.1, 0],
[0, 0, 0,1]])
# Начните с k = 1 и выполните каждое из 5 наблюдений датчика,
# один за раз.
# Останавливаемся сразу после временного шага k = 5 (т.е. последнего наблюдения датчика)
для k obs_vector_z_k в enumerate (z_k, start = 1):
# Распечатать текущий временной шаг
print (f'Timestep k = {k} ')
# Запустите расширенный фильтр Калмана и сохраните
# почти оптимальное состояние и оценки ковариации
optim_state_estimate_k, covariance_estimate_k = ekf (
obs_vector_z_k, # Последнее измерение датчика
state_estimate_k_minus_1, # Наша последняя оценка состояния
control_vector_k_minus_1, # Самый последний управляющий ввод
P_k_minus_1, # Наша последняя ковариационная матрица состояний
dk) # Временной интервал
# Будьте готовы к следующему временному шагу, обновив значения переменных
state_estimate_k_minus_1 = optim_state_estimate_k
P_k_minus_1 = covariance_estimate_k
# Распечатать пустую строку
Распечатать()
# Программа запускается здесь с помощью основного метода
главный()
Вы можете видеть, насколько EKF помогает нам сгладить измерения датчиков с шумом.
В этом подразделе шум системы не рассматривается с v k = 0.
На рисунках 1 и 2 показаны собственные значения, оцененные в репрезентативном случае и во всех 100 случаях, которые мы рассмотрели путем изменения начального числа случайного числа, соответственно. Результаты оценки собственных значений на рисунках 1 и 2 показывают, что DMD и KFDMD не подходят для точной оценки собственных значений системы в случае высокого уровня шума.С другой стороны, tlsDMD работает лучше, чем DMD и KFDMD. Кроме того, optDMD и EKFDMD, по-видимому, лучше всего подходят для оценки собственных значений. Это может быть связано с тем, что optDMD и EKFDMD обезвреживают данные, и более точное собственное значение системы может быть получено с помощью шумоподавленных данных. Производительность системной идентификации EKFDMD оказывается лучше, чем у tlsDMD.
Более того, tlsDMD может предсказывать колебания для более слабого уровня шума. Хотя tlsDMD может предсказывать нейтральные колебания для более сильного уровня шума, как показано на рис. 4, фаза колебаний восстановленных данных сильно отличается от истинного значения. С другой стороны, optDMD и EKFDMD могут успешно уменьшить шум в данных, даже если уровень шума очень высок.
достаточно высокий, но быстро увеличивается по мере получения более последовательных данных. Обратите внимание, что алгоритмы tlsDMD и optDMD являются автономными.
В этой задаче предполагается, что v ′, в результате v будет, и мы варьируемся как 0,0001, 0,001, 0,01 и 0,1. Для гиперпараметра Q установлено значение
(55)
и R устанавливается равным. Количество снимков m установлено равным 500, и для каждого случая проводится всего 100 прогонов.
13. Как и в случаях без системного шума, данные, восстановленные с помощью DMD и KFDMD, сбрасываются на ранней стадии.Это опять же потому, что эти алгоритмы предсказывают режимы сброса. Данные, восстановленные с помощью tlsDMD, имеют хорошую амплитуду колебаний, но их фазы не совпадают с фазами исходных данных. Хотя данные, восстановленные с помощью optDMD, имеют хорошую амплитуду и фазу, данные вокруг пиков иногда не восстанавливаются. Эти ошибки вокруг пиков в данных реконструкции, полученных с помощью optDMD, вызваны системным шумом в данных, поскольку optDMD не может справиться с системным шумом. В отличие от алгоритма, описанного выше, данные, восстановленные с помощью EKFDMD, отлично согласуются с исходными данными.Это связано с тем, что EKFDMD может обрабатывать данные с системным шумом. Эта характеристика может использоваться для одновременной идентификации системы и удаления шума из данных, содержащих системный шум. Ошибка в восстановленных данных, показанная на рис. 14, ясно показывает эту характеристику.
Это указывает на то, что EKFDMD может использоваться для уменьшения шума в случае, когда системный шум сильнее, чем шум наблюдения.