Расчет конденсаторов: Калькулятор расчета емкости рабочего и пускового конденсаторов

C _2b ≈ 4πε _o r

Где:

Где:

• r — малый радиус
• R большой радиус

Q = CV

Дифференцируя уравнение, получаем:

где

• i — мгновенный ток через конденсатор
• Кл — емкость конденсатора
• Dv/dt — мгновенная скорость изменения приложенного напряжения.

Связанные формулы и уравнения Сообщений:

• Формула и уравнения для индуктора и индуктивности
• Основные формулы и уравнения электротехники
• Сопротивление, емкость и индуктивность в последовательно-параллельном соединении – уравнения и формулы
• Основные формулы электрических величин
• Формулы мощности в однофазных и трехфазных цепях постоянного и переменного тока
• Потери в электрических машинах – формулы и уравнения
• Формулы и уравнения генератора постоянного тока
• Уравнение мощности, напряжения и ЭДС двигателя постоянного тока – формулы
• Формулы и уравнения синхронного генератора и генератора переменного тока
• Формулы и уравнения синхронных, шаговых и двигателей переменного тока
• Асинхронный двигатель и линейные асинхронные двигатели Формулы и уравнения
• Трансформаторные формулы и уравнения
• Формулы и уравнения в области электротехники и электроники
• Символы конденсаторов
• Электрические и электронные элементы и символы

URL скопирован

Показать полную статью

Связанные статьи

8.

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните понятия конденсатора и его емкости
• Опишите, как оценить емкость системы проводников

Конденсатор — это устройство, используемое для хранения электрического заряда и электрической энергии. Конденсаторы обычно имеют два электрических проводника, разделенных расстоянием. (Обратите внимание, что такие электрические проводники иногда называют «электродами», но правильнее было бы назвать их «пластинами конденсатора».) Пространство между конденсаторами может быть просто вакуумом, и в этом случае конденсатор называется «вакуумный конденсатор». Однако пространство обычно заполнено изоляционным материалом, известным как диэлектрик. (Вы узнаете больше о диэлектриках в разделах, посвященных диэлектрикам, далее в этой главе.) Объем памяти в конденсаторе определяется свойством, называемым емкость , о которой вы узнаете подробнее чуть позже в этом разделе.

Применение конденсаторов варьируется от фильтрации статического электричества от радиоприема до накопления энергии в сердечных дефибрилляторах. Как правило, промышленные конденсаторы имеют две проводящие части, расположенные близко друг к другу, но не соприкасающиеся, как показано на рис. 8.2. В большинстве случаев между двумя пластинами используется диэлектрик. Когда клеммы батареи подключены к первоначально незаряженному конденсатору, потенциал батареи перемещает небольшое количество заряда величиной 9.0397 Q от положительной пластины к отрицательной. Конденсатор в целом остается нейтральным, но с зарядами +Q+Q и -Q-Q, расположенными на противоположных пластинах.

Рисунок 8.2 Оба конденсатора, показанные здесь, были изначально разряжены перед подключением к батарее. Теперь у них на пластинах есть заряды +Q+Q и −Q−Q (соответственно). (a) Конденсатор с плоскими пластинами состоит из двух пластин противоположного заряда площадью 90 397 A 90 205, разделенных расстоянием 90 397 d 90 205 . (b) Скрученный конденсатор имеет диэлектрический материал между двумя проводящими листами (пластинами).

Система, состоящая из двух одинаковых пластин с параллельными проводниками, разделенных расстоянием, называется конденсатором с параллельными пластинами (рис. 8.3). Величина электрического поля в пространстве между параллельными пластинами равна E=σ/ε0E=σ/ε0, где σσ — поверхностная плотность заряда на одной пластине (напомним, что σσ — заряд Ом , приходящийся на площадь поверхности А). ). Таким образом, величина поля прямо пропорциональна Q .

Рисунок 8.3 Разделение зарядов в конденсаторе показывает, что заряды остаются на поверхности пластин конденсатора. Линии электрического поля в конденсаторе с плоскими пластинами начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Величина электрического поля в пространстве между пластинами прямо пропорциональна количеству заряда на конденсаторе.

Конденсаторы с разными физическими характеристиками (такими как форма и размер их пластин) сохраняют разное количество заряда при одном и том же приложенном на их пластинах напряжении В . Емкость C конденсатора определяется как отношение максимального заряда Q , который может храниться в конденсаторе, к приложенному напряжению В на его обкладках. Другими словами, емкость — это наибольшее количество заряда на вольт, которое может храниться на устройстве:

8.1

Единицей измерения емкости в системе СИ является фарад (Ф), названный в честь Майкла Фарадея (1791–1867). Поскольку емкость — это заряд на единицу напряжения, один фарад равен одному кулону на один вольт, или

1F=1C1V.1F=1C1V.

По определению, конденсатор емкостью 1,0 Ф способен хранить 1,0 Кл заряда (очень большой заряд), когда разность потенциалов между его пластинами составляет всего 1,0 В. Таким образом, один фарад — это очень большая емкость. Типичные значения емкости варьируются от пикофарад (1 пФ = 10–12 Ф) (1 пФ = 10–12 Ф) до миллифарад (1 мФ = 10–3 Ф) (1 мФ = 10–3 Ф), включая микрофарад (1 мкФ = 10–6 Ф1 мкФ = 10– 6F). Конденсаторы могут изготавливаться различных форм и размеров (рис. 8.4).

Рисунок 8.4 Это некоторые типичные конденсаторы, используемые в электронных устройствах. Размер конденсатора не обязательно связан со значением его емкости. (кредит: Windell Oskay)

Расчет емкости

Мы можем рассчитать емкость пары проводников с помощью следующего стандартного подхода.

Стратегия решения проблем

Расчет емкости

1. Предположим, что конденсатор имеет заряд Q .
2. Определите электрическое поле E→E→ между проводниками. Если в расположении проводников присутствует симметрия, вы можете использовать закон Гаусса для этого расчета.
3. Найдите разность потенциалов между проводниками из VB-VA=-∫ABE→·dl→, VB-VA=-∫ABE→·dl→,

   8,2

   где путь интегрирования ведет от одного проводника к другому. Тогда величина разности потенциалов равна V=|VB-VA|V=|VB-VA|.
4. Зная В , получите емкость непосредственно из уравнения 8.1.

Чтобы показать, как работает эта процедура, мы теперь рассчитаем емкости пластинчатых, сферических и цилиндрических конденсаторов. Во всех случаях мы предполагаем вакуумные конденсаторы (пустые конденсаторы) без диэлектрического вещества в пространстве между проводниками.

Конденсатор с параллельными пластинами

Конденсатор с плоскими пластинами (рис. 8.5) имеет две одинаковые проводящие пластины, каждая из которых имеет площадь поверхности А , разделенные расстоянием d . При напряжении В подается на конденсатор, он накапливает заряд Q , как показано на рисунке. Мы можем видеть, как его емкость может зависеть от A и d , рассматривая характеристики кулоновской силы. Мы знаем, что сила между зарядами увеличивается с увеличением заряда и уменьшается с расстоянием между ними. Следует ожидать, что чем больше пластины, тем больше заряда они могут хранить. Таким образом, C должно быть больше для большего значения A . Точно так же, чем ближе пластины друг к другу, тем сильнее притяжение к ним противоположных зарядов. Следовательно, C должен быть больше для меньшего d .

Рисунок 8,5 В плоском конденсаторе с пластинами, расположенными на расстоянии d , каждая пластина имеет одинаковую площадь поверхности A .

Определим поверхностную плотность заряда σσ на пластинах как

σ=QA. σ=QA.

Из предыдущих глав мы знаем, что когда d мало, электрическое поле между пластинами довольно однородно (без учета краевых эффектов) и что его величина определяется выражением

E=σε0,E=σε0,

, где константа ε0ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ε0=8,85×10−12F/м.ε0=8,85×10−12F/м. Единица СИ Ф/м эквивалентна C2/N·m2.C2/N·m2. Поскольку электрическое поле E→E→ между пластинами однородно, разность потенциалов между пластинами равна

V=Ed=σdε0=Qdε0A.V=Ed=σdε0=Qdε0A.

Следовательно, уравнение 8.1 дает емкость плоского конденсатора как

8,3

Обратите внимание, что из этого уравнения емкость является функцией только геометрии и того, какой материал заполняет пространство между пластинами (в данном случае вакуум) этого конденсатора. На самом деле это верно не только для плоского конденсатора, но и для всех конденсаторов: Емкость не зависит от Ом или В . При изменении заряда соответственно изменяется и потенциал, так что Q / В остается постоянным.

Пример 8.1

Емкость и заряд, хранящиеся в конденсаторе с параллельными пластинами

Стратегия

Решение

1. Ввод данных значений в уравнение 8.3 дает

   C=ε0Ad=(8,85×10−12Fm)1,00m21,00×10−3m=8,85×10−9F=8,85nF.C=ε0Ad=(8,85×10−12Fm)1,00m21,00×10−3m= 8,85×10-9Ф=8,85нФ.

   Это маленькое значение емкости указывает на то, насколько сложно сделать устройство с большой емкостью.
2. Инвертирование уравнения 8.1 и ввод известных значений в это уравнение дает

   Q=CV=(8,85×10-9F)(3,00×103В)=26,6мкКл. Q=CV=(8,85×10-9F)(3,00×103В)=26,6мкКл.

Значение

Пример 8.2

A 1-F Конденсатор с параллельными пластинами

Решение

A=Cdε0=(1,0F)(1,0×10-3м)8,85×10-12F/м=1,1×108м2. A=Cdε0=(1,0F)(1,0×10-3м)8,85×10-12F/ м=1,1×108м2.

Каждая квадратная пластина должна иметь диаметр 10 км. Раньше было обычной шуткой просить студента пойти на склад лаборатории и попросить конденсатор с плоскими пластинами 1-Ф, пока обслуживающему персоналу не надоела эта шутка.

Проверьте свое понимание 8.1

Емкость плоского конденсатора 2,0 пФ. Если площадь каждой пластины 2,4 см22,4 см2, каково расстояние между пластинами?

Проверьте свое понимание 8.2

Убедитесь, что σ/Vσ/V и ε0/dε0/d имеют одинаковые физические единицы.

Сферический конденсатор

Сферический конденсатор представляет собой еще один набор проводников, емкость которых можно легко определить (рис. 8.6). Он состоит из двух концентрических проводящих сферических оболочек радиусами R1R1 (внутренняя оболочка) и R2R2 (внешняя оболочка). Оболочки получают равные и противоположные заряды +Q+Q и −Q−Q соответственно. Из-за симметрии электрическое поле между оболочками направлено радиально наружу. Мы можем получить величину поля, применив закон Гаусса к сферической поверхности Гаусса радиусом 9dr)=Q4πε0∫R1R2drr2=Q4πε0(1R1−1R2).

В этом уравнении разность потенциалов между пластинами равна V=-(V2-V1)=V1-V2V=-(V2-V1)=V1-V2. Подставим этот результат в уравнение 8.1, чтобы найти емкость сферического конденсатора:

8,4

Рисунок 8,6 Сферический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих сфер. Обратите внимание, что заряды проводника находятся на его поверхности.

Пример 8.3

Емкость изолированной сферы

Стратегия

Решение

Таким образом, емкость изолированной сферы равна

C=QV=Q4πε0R1Q=4πε0R1.C=QV=Q4πε0R1Q=4πε0R1.

Значение

Проверьте свое понимание 8.3

Радиус внешней сферы сферического конденсатора в пять раз больше радиуса его внутренней оболочки. Каковы размеры этого конденсатора, если его емкость 5,00 пФ?

Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров (рис. 8. 7). Внутренний цилиндр радиусом R1R1 может быть как оболочкой, так и сплошным телом. Внешний цилиндр представляет собой оболочку с внутренним радиусом R2R2. Мы предполагаем, что длина каждого цилиндра равна l и что избыточные заряды +Q+Q и −Q−Q располагаются на внутреннем и внешнем цилиндрах соответственно.

Рисунок 8,7 Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Здесь заряд на внешней поверхности внутреннего цилиндра положителен (обозначен ++), а заряд на внутренней поверхности внешнего цилиндра отрицателен (обозначен —). 9dr)=Q2πε0l∫R1R2drr=Q2πε0llnr|R1R2=Q2πε0llnR2R1.

Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора равна

8,6

Как и в других случаях, эта емкость зависит только от геометрии расположения проводников. Важным применением уравнения 8.6 является определение емкости на единицу длины коаксиального кабеля , который обычно используется для передачи изменяющихся во времени электрических сигналов. Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических цилиндрических проводников, разделенных изоляционным материалом. (Здесь мы предполагаем вакуум между проводниками, но физика качественно почти такая же, когда пространство между проводниками заполнено диэлектриком.) Такая конфигурация экранирует электрический сигнал, распространяющийся по внутреннему проводнику, от внешних по отношению к проводнику паразитных электрических полей. кабель. Ток течет в противоположных направлениях во внутреннем и внешнем проводниках, при этом внешний проводник обычно заземлен. Теперь из уравнения 8.6 емкость на единицу длины коаксиального кабеля равна

Cl=2πε0ln(R2/R1).Cl=2πε0ln(R2/R1).

В практических приложениях важно выбрать конкретные значения C / l . Этого можно добиться соответствующим выбором радиусов проводников и изоляционного материала между ними.

Проверьте свое понимание 8.4

Когда цилиндрический конденсатор получает заряд 0,500 нКл, между цилиндрами измеряется разность потенциалов 20,0 В. а) Чему равна емкость этой системы? б) Чему равно отношение их радиусов, если длина цилиндров 1,0 м?

На рис. 8.4 показаны несколько типов практических конденсаторов. Обычные конденсаторы часто изготавливают из двух небольших кусочков металлической фольги, разделенных двумя небольшими кусочками изоляции (см. рис. 8.2(b)). Металлическая фольга и изоляция покрыты защитным покрытием, а два металлических вывода используются для подключения фольги к внешней цепи. Некоторыми распространенными изоляционными материалами являются слюда, керамика, бумага и антипригарное покрытие Teflon™.

Другим популярным типом конденсатора является электролитический конденсатор. Он состоит из окисленного металла в токопроводящей пасте. Основным преимуществом электролитического конденсатора является его высокая емкость по сравнению с другими распространенными типами конденсаторов. Например, емкость алюминиевого электролитического конденсатора одного типа может достигать 1,0 Ф. Однако вы должны быть осторожны при использовании электролитического конденсатора в цепи, потому что он работает правильно только тогда, когда металлическая фольга находится под более высоким потенциалом, чем проводящая паста. Когда возникает обратная поляризация, электролитическое воздействие разрушает оксидную пленку. Конденсатор этого типа нельзя подключать к источнику переменного тока, потому что в половине случаев переменное напряжение будет иметь неправильную полярность, поскольку переменный ток меняет полярность (см. Цепи переменного тока в цепях переменного тока).

Переменный воздушный конденсатор (рис. 8.8) имеет два набора параллельных пластин. Один набор пластин закреплен (обозначен как «статор»), а другой набор пластин прикреплен к валу, который может вращаться (обозначен как «ротор»). Поворачивая вал, можно изменить площадь поперечного сечения в области нахлеста пластин; следовательно, емкость этой системы может быть настроена на желаемое значение. Конденсаторная настройка находит применение в любом типе радиопередачи и при приеме радиосигналов от электронных устройств. Каждый раз, когда вы настраиваете автомобильный радиоприемник на любимую станцию, подумайте о емкости.

Рисунок 8,8 В переменном воздушном конденсаторе емкость можно регулировать, изменяя эффективную площадь пластин. (кредит: модификация работы Робби Спроула)

Символы, показанные на рис. 8.9, представляют собой схемы различных типов конденсаторов. Обычно мы используем символ, показанный на рис. 8.9(а). Символ на рис. 8.9(c) обозначает конденсатор переменной емкости. Обратите внимание на сходство этих символов с симметрией плоского конденсатора. Электролитический конденсатор представлен символом в части рисунка 8.9.(б), где изогнутая пластина указывает на отрицательную клемму.

Рисунок 8,9 Это показывает три различных представления схемы конденсаторов. Символ в (а) является наиболее часто используемым. Символ в (b) представляет собой электролитический конденсатор. Символ в (c) представляет собой конденсатор переменной емкости.

Интересный прикладной пример модели конденсатора взят из клеточной биологии и касается электрического потенциала плазматической мембраны живой клетки (рис. 8.10). Клеточные мембраны отделяют клетки от их окружения, но позволяют некоторым избранным ионам проходить внутрь или наружу клетки. Разность потенциалов на мембране составляет около 70 мВ. Клеточная мембрана может иметь толщину от 7 до 10 нм. Рассматривая клеточную мембрану как наноразмерный конденсатор, оценка наименьшей напряженности электрического поля на ее «пластинах» дает значение E=Vd=70×10−3V10×10−9.m=7×106В/м>3МВ/мE=Vd=70×10−3В10×10−9m=7×106В/м>3МВ/м.

Эта величина электрического поля достаточно велика, чтобы создать электрическую искру в воздухе.

Рисунок 8.10 Полупроницаемая мембрана биологической клетки имеет разные концентрации ионов на внутренней поверхности, чем на внешней. Диффузия перемещает ионы K+K+ (калий) и Cl–Cl– (хлорид) в указанных направлениях до тех пор, пока кулоновская сила не остановит дальнейший перенос. Таким образом, внешняя поверхность мембраны приобретает положительный заряд, а ее внутренняя поверхность приобретает отрицательный заряд, создавая на мембране разность потенциалов. Мембрана в норме непроницаема для Na+ (ионов натрия).

Электрические заряды, связанные с клеточной мембраной, приводят к критическим биологическим процессам.